Absoption und Dispersion

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Das Wort Dispersion ist aus dem lateinischen "dispergere" abgeleitet und bedeutet „ausbreiten, zerstreuen“. Es gibt mehrere Phänomene bei denen Dispersion beobachtet wird. Dispersion tritt aber immer dann auf wenn der Brechungsindex eines Mediums von der Wellenlänge abgängig ist. Die Folgende Abbildung zeigt die Funktion $n(\lambda)$ für mehrere Materialien, solche Diagramme werden Dispersionskurven genannt.

Dispersionskurven für unterschiedliche Materialien. Der sichbare Wellenlängenbereich ist rosa gekennzeichnet.


  • Licht wird durch ein Prisma gestreut, das liegt daran, dass der Brechungsindex $n$ eine Funktion der Wellenlänge $\lambda$ ist, denn Wellen werden dann gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz abgelenkt. Lichtwellen mit unterschiedlichen Wellenlängen (Farben) werden in unterschiedliche Richtungen abgelenkt. Die anfangs überlagerten Wellen werden so in ihr Spektrum aufgespalten (Dispersion).
    Disper.gif
  • Außerdem ist die Phasenverschiebung, welche die Wellen beim Durchgang durch das Medium erfahren von ihrer Wellenlänge abhängig. Dadurch zerfließt das Wellenpaket, dieses Zerfließen wird ebenfalls als Dispersion bezeichnet. Dies kommt Zustande, weil Wellenpakete in Materie (für $n>1$) eine kleinere Ausbreitungsgeschwindigkeit $v_{ph}=c/n$ haben als im Vakuum. Dies wiederum liegt daran, dass das E-Feld der Lichtwelle $\mathbf{E_0} e^{i(\omega t -kz)}$ die Kraft $\mathbf{F}=-e \cdot \mathbf{E}$ auf die Elektronen des Mediums ausübt und diese zu erzwungenen Schwingungen anregt. Die schwingenden Elektronen strahlen dann mit Verzögerung, wie ein Herzscher Dipol, Wellen mit der gleichen Frequenz $\omega$ ab. Durch Überlagerung mit der ursprünglichen Welle ergibt sich eine neue Welle mit geringerer Phasengeschwindigkeit die auch Gruppengeschwindigkeit genannt wird. Um wie viel sich die Phasengeschwindigkeit ändert hängt vom komplexen Brechungsindex $n=n_r -i \kappa$ ab.

\begin{align} n=1+ \frac{N \cdot e^2}{2 \epsilon_0}\cdot \frac{(\omega_0^2-w^2)-i\omega \gamma}{(\omega_0^2-w^2)^2+\omega^2 \gamma^2} \end{align}

wobei $\omega_0$ die Resonanzfrequenz des jeweiligen Mediums ist und $\omega$ die Frequenz der elektromagnetischen Welle. $N$ bezeichnet die Anzahl der Elektronen $e$ die Angeregt werden.

Im Vakuum benötigt eine Welle für die Strecke $\Delta z$ durch das Medium, die Zeit $t=\Delta z / c$. Im Medium ist die Geschwindigkeit $v_{ph}=c/n$ wegen $n>1$ kleiner.
Die Welle benötigt die zusätzliche Zeit $\Delta t = (n-1) \cdot \Delta z /c$. Nach durchlaufen des Mediums gilt dann für die Welle

\begin{align} \mathbf{E}(z)=\mathbf{E}_0 e^{i\omega(t-z/c)} \cdot e^{-i\omega(n-1)\Delta z/c} \end{align}

Im Allgemeinen ist der Brechungsindex komplex $n=n_r -i \kappa$



\begin{align} \mathbf{E}(z)= \underbrace{e^{-i\omega(n_r-1)\Delta z/c}}_{D} \cdot \underbrace{e^{-\omega\kappa\Delta z/c}}_{A} \cdot \mathbf{E}_0 e^{i(\omega t-k_0 z)} \end{align} $A(\kappa,\Delta z) \dots$ Absorption: nach der Strecke $\Delta z = c/(\omega \cdot \kappa)$ ist $\mathbf{E}$ auf $1/e \cdot E_0$ abgesunken
$D(n_r, \Delta z, \lambda) \dots$ Dispersion: Führt zu Phasendifferenz $\Delta \varphi = \omega(n_r-1)\Delta z/c=(n_r-1)\frac{2\pi \Delta z}{\lambda_0}$

\(\lambda = \frac{\lambda_0}{n_r} \)

\(v_{ph} = \frac{c}{n_r} \)

\(v_{ph} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 \cdot \mu_r \cdot \mu_0 }}= \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r}} \rightarrow n_r=\sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} \hspace{1cm} \text{für nicht magnetische Materialien gilt } \mu \approx 1\)



  • Ein weiteres Phänomen ist, wie im vorigen Punkt erwähnt, dass sich durch die Überlagerung von Wellen die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes von der Phasengeschwindigkeit der überlagerten Wellen unterscheidet. Während die Phasengeschwindigkeit $v_{ph}$ (roter Punkt) die Geschwindigkeit konstanter Phase der Teilwellen beschreibt, charakterisiert die Gruppengeschwindigkeit $v_{G}$ (grüner Punkt) mit welcher Geschwindigkeit sich das Wellenpaket fortbewegt, also die Geschwindigkeit konstanter Phase der Einhüllenden des Wellenpaketes.
Gruppen.gif
Als Dispersionsrelation bezeichnet man den Zusammenhang von $\omega$ der Kreisfrequenz mit der Wellenzahl $k$

\begin{align} \omega = f(k)\\ \end{align}

Für eine harmonische Welle gilt der einfache Zusammenhang

\begin{align} \omega = k \cdot v_{ph} \end{align}

Die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes kann sich von $v_{ph}$ unterscheiden wenn Dispersion vorliegt. Für die Gruppengeschwindigkeit gilt die Rayleighsche Beziehung

\begin{align} v_{G}=d\omega / dk=\frac{d}{dk}(v_{ph}\cdot k)=v_{ph}+k\cdot \frac{dv_{ph}}{dk} \end{align}

die sich mit $k =2 \pi /\lambda \Rightarrow dk=-2 \pi /\lambda^2$ auch in Abhängigkeit von $\lambda$ ausdrücken lässt.

\begin{align} v_{G}=v_{ph}-\lambda \cdot \frac{dv_{ph}}{d\lambda} \end{align}

  • Man unterscheidet weiter zwischen Normaler- und Anormaler Dispersion
Die Gruppengeschwindigkeit kann auch geschrieben werden als (ohne Herleitung)

$v_G=\frac{v_{ph}}{1+\frac{\omega}{n_r} \frac{dn_r}{d\omega}}=\frac{c}{n_r+\omega \frac{dn_r}{d\omega}}$

Da die Brechzahl kleiner eins sein kann ($n_r<1$), ist es möglich dass die Phasengeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit ist

$v_{ph}=c/n_r > c$ bzw.
$v_{G}=c/({n_r+\omega \frac{dn_r}{d\omega})} > c$

Brechzahl $n(\omega)$ in Abhängigkeit von $\omega$ aufgespallten in Realteil $n_r$ und Imaginärteil $\kappa$. Anormale Dispersion ($\frac{dn_r}{d\omega}<0$) tritt genau dort auf wo die Absorption maximal ist.

Man spricht von normaler Dispersion wenn

\(\frac{dn_r}{d\omega}>0 \) und damit

\(v_G<v_{ph} \)

Man spricht von anormaler Dispersion wenn

\(\frac{dn_r}{d\omega}<0 \) und damit

\(v_G>v_{ph} \)

  • Außerdem ergibt sich für Teilchen über die Energie-Impulsbeziehung die Dispersionsrelation

\begin{align} \hbar \omega = E = \frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m} \end{align}

Wellen die Aufgrund nichlinearer Effekte nicht auseinanderlaufen werden als Solitonen bezeichnet. Sie können mit der Korteweg-de-Vries-Gleichung, einer nichtlinearen Partiellen Differentialgleichung beschrieben werden.

Zusammenfassung

Unter Dispersion versteht man eine Reihe von Phänomenen in einem Medium, die durch die Abängigigkeit des Brechungsindex $n$ von der Wellenlänge $\lambda$ entstehen.

  • Streuung: Brechung am Medium abhängig von $\lambda$
  • Phasenverschiebung und Zerfließen in Abhängigkeit von $n_r(\omega)$
  • Absorbtion in Abhängigkeit von $\kappa(\omega)$
  • Gruppengeschwindigkeit durch Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge $v_{ph}(\lambda)$