Bahndrehimpuls

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Der klassische Drehimpuls eines Teilchens mit Masse $m$ und Geschwindigkeit $v$ ist.

$\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}=m(\mathbf{r} \times \mathbf{v})$

Der Impulsoperator $\hat{\mathbf{p}}$ ist definiert als $\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar \nabla$ damit erhalten wir für den Drehimpulsoperator

$\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar (\mathbf{r} \times \nabla)$

dessen Komponenten sich in Kugelkoordinaten schreiben lassen (ohne Herleitung) als

$\hat{L_x}=i\hbar \left(sin \varphi \frac{\partial}{\partial \vartheta} + cot \vartheta cos \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi} \right)$
$\hat{L_y}=i\hbar \left(-cos \varphi \frac{\partial}{\partial \vartheta} + cot \vartheta sin \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi} \right)$
$\hat{L_z}=-i\hbar \left( \frac{\partial}{\partial \varphi} \right)$

mit dem Betragsquadrat

$\hat{L}^2=\hat{L_x}^2+\hat{L_y}^2+\hat{L_z}^2=-\hbar^2 \left( \frac{1}{ sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left( sin \vartheta \frac{\partial }{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{ sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right)$

$\hat{L}^2$ ist also proportional zum Winkelanteil $Y$ des Laplaceoperators $\Delta$. Da die Lösung für den Winkelanteil der Schrödingergleichung die Kugelflächenfunktionen sind, sind diese auch Lösung von $\hat{L}^2$. Die Kugelflächenfunktionen sind also Eigenfunktionen des Operators $\hat{L}^2$.

$\Delta = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\partial \psi }{\partial r} \right) + \underbrace{\left[\frac{1}{ sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left( sin \vartheta \frac{\partial }{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{ sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\right]}_{Y} \frac{\psi}{r^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi=0$

$\hat{L}^2 \psi = R(r) \cdot \hat{L}^2 Y_l^m(\vartheta, \varphi)=R(r) \cdot l(l+1)\hbar^2 Y_l^m(\vartheta,\varphi)=l(l+1)\hbar^2 \psi$

Deshalb erhalten wir für den Erwartungswert von $\hat{L}^2$ wegen $\int |\psi|^2d\tau =1$

$\langle {L}^2 \rangle = \int \psi^*\hat{L}^2\psi d\tau=l(l+1)\hbar^2 \Rightarrow \langle |\hat{L}| \rangle = \sqrt{l(l+1)}\hbar$

$\langle |{L}| \rangle = \sqrt{l(l+1)}\hbar$

Die z-Komponente ist wegen

$ \hat{L}_z \psi = -i\hbar \frac{\partial }{\partial \varphi}\left( R(r) \cdot \theta(\vartheta) \cdot \phi(\varphi) \right)= -i\hbar \cdot R(r) \cdot \theta(\vartheta) \cdot \frac{\partial }{\partial \varphi}\left( e^{im\varphi} \right)=m\hbar \psi$

$\langle {L}_z \rangle = m \cdot \hbar$


Für $\hat{L}_x$ und $\hat{L}_y$ gilt keine linearer Zusammenhang $L \cdot Y_l^m \propto m_x \cdot Y_l^m$

${L}_x^2+{L}_y^2={L}^2-{L}_z^2 \psi = [l(l+1)-m^2]\hbar^2$

In der klassischen Physik haben alle Komponenten des Drehimpulses einen wohldefinierten Wert. In der Quantenmechanik ist zwar der Betrag des Drehimpulses $ |\mathbf{L}| = \sqrt{l(l+1)}\hbar$ zeitlich konstant, aber es lässt sich nur eine Komponente des Drehimpulses exakt messen, während die anderen zwei Komponenten statistisch verteilt sind, sich also nicht gleichzeitig messen lassen. Man wählt die z-Achse als Vorzugsachse (Quantisierungsachse). Damit haben $\hat{L}^2$ und $\hat{L}_z$ die selben Eigenfunktionen und ihre Eigenwerte sind gleichzeitig scharf messbar.