Beugung am Gitter

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Kann durch Beugnung an den einzelnen Spalten und durch Interferenz dieser $N$ gebeugten Wellen verstanden werden.

\( I(\theta)= I_0 \cdot \left( \frac{\sin\left(\frac{k}{2} d \sin \theta \right)}{\frac{k}{2} d \sin\theta} \right)^{\!2} \cdot \left( \frac{\sin\left(N \frac{k}{2} a \sin\theta\right)}{\sin \left( \frac{k}{2} a \sin\theta \right)}\right)^2 \)



$d \dots$ Spaltbreite
$a \dots$ Abstand zwischen Spälten

Beugung am Gitter: Die Form der Einhüllenden (rosa) entspricht genau der Intensitätsverteilung bei Vielstrahlinterferenz, allerdings ist sie um einen Faktor vergrößert.

Maxima m-ter Ordnung von $I(\theta)$ treten bei Richtungen auf bei denen der Wegunterschied zwischen Wellen aus benachbarten Spalten

\( \Delta s = a \cdot sin\theta = m \cdot \lambda \hspace{2cm} \text{für} \hspace{2cm} m=1,2,3,...,m_{max} \leq a/\lambda\)

Nebenmaxima sind bei

\( sin(\theta_N)=\frac{(2p+1)\lambda}{2N \cdot a} \hspace{2cm} \text{für} \hspace{2cm} p=1,2,3,...,N-2 \)

Benutze Mathematica um den Intensitätsverlauf zu Plotten. In diesem Beispiel wurden Parameter $N=10$, $k\cdot a=30$ gewählt und $I(\alpha)$ um einen Faktor 0.01 verkleinert, sodass die der Term der Vielstrahlinterferenz in guter Näherung der Einhüllenden entspricht.

Mathematica Code:
i[kd_, a_] := Sin[kd*Sin[a]/2]^2/(kd*Sin[a]/2)^2
ii[kb_, a_, N_] := Sin[N*kb*Sin[a]/2]^2/Sin[kb*Sin[a]/2]^2
Manipulate[
Plot[{0.01 i[kd, x]*ii[30, x, 10], i[kd, x]}, {x, -Pi/2, Pi/2}, 
 BaseStyle -> {FontWeight -> "Bold", FontSize -> 20}, 
 AxesLabel -> {\[Alpha], "I(\[Alpha])"}, 
 PlotRange -> {{-Pi/2, Pi/2}, {0, 1}}], {kd, 0.5, 30}]