Beugung am Spalt

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Wir betrachten nun den Grenzfall $N \rightarrow \infty$ und $\delta \rightarrow 0$. Der Spalt mit Breite $d$ hat also unendlich viele Quellen.
Betrachten wir dazu den Limes $N \rightarrow \infty$ und $\delta \rightarrow 0$ für die Intensität bei Vielstrahlinterferenz und setzen $N\delta=d$ ein

\(\ \hspace{0.5cm} I \propto a^2 \cdot \frac{\sin^2 \left(\frac{N}{2} \Delta \varphi \right)}{\sin^2 \left(\frac{1}{2} \Delta \varphi \right)} = a^2 \cdot \frac{\sin^2 \left(\frac{1}{2}k d \Delta \varphi \right)}{\sin^2 \left( \frac{k d}{2N} \varphi \right)} \)

Für kleine Argumente $x$ gilt $\sin(x)\sim x$ und wir können nach umbenennen des Argumentes $k \cdot d \cdot \sin(\alpha)$ als $\Delta \phi$ schreiben

\(\ \hspace{0.5cm} I \propto a^2 \cdot \frac{\sin^2 \left(\frac{\Delta \phi}{2} \right)}{\left(\frac{\Delta \phi}{2N}\right)^2} =N^2 \cdot a^2 \cdot \frac{\sin^2 \left(\frac{\Delta \phi}{2} \right)}{\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)^2} =I_0 \cdot \frac{\sin^2 \left(\frac{\Delta \phi}{2} \right)}{\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)^2} \)

Mit größer werdender Spaltbreite $d$ wird die Breite des Hauptmaximums immer schmaler. Für $d \rightarrow \infty$ erhält man eine Deltafunktion an der Stelle $\alpha =0$.
Beugung ist die Wellenausbreitung in Richtung $\alpha \neq 0$. Die Nebenmaxima sind bei $sin \alpha =\pm (2m+1) \lambda / 2d$
Fall 1 $d \rightarrow 0$: Konstant $I_0$
Fall 2. $d < \lambda$: Zentrales Beugungsmaxima, keine Interferenzstruktur mehr, monoton abfallende Funktion
Fall 3. $d > \lambda$: Schmales zentrales maximum $\Delta \alpha = 2\lambda / d$


Benutze Mathematica um zu untersuchen wie sich die Intensitätsverteilung $I(\alpha)$ für unterschiedliche Verhältnisse $d/{\lambda}=d \cdot k /(2\pi)$ verhält. Im Folgenden sind einige Plots $I(\alpha)$ mit $I_0=1$ für verschiedene Werte $k \cdot d$ gezeigt.

Beugung an Begrenzung