Bifurkationen

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Im Aritkel Qualitative Analyse von Differentialgleichungen haben wir den Begriff Fixpunkt (engl. fixed point) als Punkte $\bar{x}$ welche die Gleichung $\dot{x}=0$ erfüllen definiert. Wir haben diese deshalb auch Gleichgewichtslösungen genannt. Außerdem haben wir das Verhalten von Lösungen studiert und gefunden, dass Lösungen entweder den Fixpunkt erreichen oder nach $\pm \infty$ gehen. Nun gehen wir einen Schritt weiter und fragen, wie diese Fixpunkte von den Parametern (Koeffizienten) einer nichtlinearen Differentialgleichung abhängen. Es zeigt sich, dass durch Veränderung der Parameter Fixpunkte enstehen und verschwinden können, genauso können sie auch ihre Stabilität ändern. Man Spricht deshalb auch von Kontroll-Parametern. Die qualitative Veränderung der Dynamik eines Systems heißt Bifurkation. Die Parameter bei welchen die Bifurkation stattfindet, heißen Bifurkations Punkt.

Contents

Sattelpunkt Bifurkation

Einige Spezialfälle der Sattelpunkt Bifurkation (engl. saddle-point bifurcation) wurden bereits in einem anderen Artikel besprochen. Der Prototyp dieser Sattelpunkt-Bifurkations-Gleichung hat die Form

\begin{align} \dot{x}=r+x^2 \tag{1} \end{align}
wobei $r$ der Kontroll Parameter ist. Bei der Sattelpunkt Bifurkation entstehen oder verschinden Fixpunkte durch Variation von $r$. Die Abbildung zeigt Graphen, bei denen $\dot x$ in Abhängigkeit von $x$ dargestellt ist. Für $r>0$ ist $\dot{x}$ immer positiv, es gibt daher keine Fixpunkte. Für kleiner werdenede Werte $r$ entstehen aber Fixpunkte. Erst ein semistabiler Fixpunkt (semi lat. für halb) für $r=0$ und für $r<0$ enstehen zwei Fixpunte, ein stabiler für $x<0$ und ein instabiler für $x>0$. Je kleiner $r$ desto mehr entfernen sich die Fixpunkte voneinander. Die Fixpunkte entstehen also, wenn die Parabel $x^2$ die $x$-Achse schneidet.

Die Abbildung zeigt den Fluss auf einer Linie, angedeutet durch die Pfeile und unterschiedliche Fixpunkte für jeweilige Kontrollparamter $r$.

Um diesen Zusammenhang zwischen den Fixpunkten $\bar{x}_i$ und dem Kontroll Parameter $r$ besser darzustellen, ist es sinnvoll Graphen von $\bar{x}_i$ als Funktion von $r$ (oder $r(x)$) zu betrachen. Man nennt Darstellungen von solchen Graphen Bifurkations Diagramme. Hier wird das Verhalten der Gleichung (1) bezüglich der Fixpunkte veranschaulicht. Je kleiner der Kontroll Parameter $r$ desto weiter entfernen sich der stabile und instabile Fixpunkt auf der $x$-Achse voneinander.

Bifurkationsdiagramm für $\dot{x}=r+x^2$

Für die ähnliche Gleichung mit umgekehrten Vorzeichen, erhält man auf analoge Weise das Bifurkationdiagramm, welches dem Bifurkationsdiagramm von Gleichung (1) entspricht, wenn man es einmal um jede Achse ($x$ und $r$) spiegelt. \begin{align} \dot{x}=r-x^2 \tag{2} \end{align}

Bifurkationsdiagramm für $\dot{x}=r-x^2$

Normalform

Es ist grundsätzlich der Fall, dass wenn eine Funktion $\dot{x}=f(x,r)$ deren Form ähnlich einer Parabel $x^2$ ist, für bestimmte Kontrollparameter (nämlich wenn die Funktion die $x$-Achse schneidet) eine Sattelpunktbifurkation auftritt. Wenn wir diese Funktion $f(x,r)$ beim Bifurkationspunkt $r=r_c$ ($c$ für critical) um den Fixpunkt $x=\bar{x}$ Taylorentwickeln

\begin{align} \dot{x}=f(x,r) \approx \underbrace{f(\bar{x},r_c)}_{=0} + \frac{ \partial f}{ \partial r} \left|_{\bar{x},r_c} (r-r_c) \right. + \underbrace{\frac{ \partial f}{ \partial x} \left|_{\bar{x},r_c} (x-\bar{x}) \right.}_{=0} + \frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} \left|_{\bar{x},r_c} (x-\bar{x})^2 \right. + \dots \end{align}

wobei $\dot{x}=f(\bar{x},r_c)=0$ am Fixpunkt definitionsgemäß Null sein muss und $\partial f / \partial x=0$ weil $f(\bar{x},r_c)$ gerade tangential zur $x$-Achse ist. Wir erhalten bei vernachlässigen von quadratischen Termen in $r$ und aller Terme dritter und höherer Ordnung näherungsweise \begin{align} \dot{x} \approx \frac{ \partial f}{ \partial r} \left|_{\bar{x},r_c} (r-r_c) \right. + \frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} \left|_{\bar{x},r_c} (x-\bar{x})^2 \right. + \dots \end{align} Was in der Form genau Gleichung (1) dem Prototyp einer Sattelpunkt-Bifurkations-Gleichung entspricht. Man nennt diese Form auch Nomralform, gehen hier aber nicht genauer auf dieses Thema ein.

Transkritische Bifurkation

Es gibt physikalische Situationen, in denen ein Fixpunkt für alle Zeiten existieren muss, unabhängig von Parametern. Ein Beispiel dafür ist das Bakterienwachstum, das mithilfe der Logistische Funktion beschrieben werden kann. Egal was für Parameter vorhanden sind, es muss immer ein Fixpunkt geben bei $x=0$ (population verschwindet). Es kann aber passieren, dass sich mit Variation der Kontroll Parameter die Stabilität von Fixpunkten verändert. Typischerweise ist dies der Fall, wenn ein kritischer Wert $r_c$ überschritten wird, man spricht daher von der Transkritischen Bifurktation (trans lat. für über, hindurch). Die Normalform transkritischen Bifurkation ist \begin{align} \dot{x}=rx-x^2 \tag{3} \end{align} Die folgende Abbildung zeigt Vektorfelder mit unterschiedlichen Kontroll Parametern. Man erkennt, dass zwar für alle $r$ ein Fixpunkt bei $\bar{x}=0$ vorhanden ist, dieser aber seine Stabilität bei $r=r_c=0$ ändert. Mit Mathematica und dem Befehl Manipulate kann man beobachten, wie sich das Vektorfeld in Abhängigkeit von $r$ verändert. Mathematica Code:

Manipulate[Plot[r x - x^2, {x, -15, 15}, Ticks -> None, AxesLabel -> {x,\!\(\*OverscriptBox["x", "."]\)}], {r, -10, 10}]
Transfurk.png

Wir finden die Fixpunkte als Lösung der Gleichung \begin{align} \dot{x}=r\bar{x}-\bar{x}^2=0 \end{align} Im unterschied zur Sattelpunktbifurkation entstehen oder verschwinden Fixpunkte nicht, sie ändern ihre Stabilität. Anschaulich wird dies im Bifurkationsdiagramm klar. Für $r<0$ ist $\bar{x}=0$ der stabile Fixpunkt, für $r>0$ nach überschreiten von $r_c$ ist $\bar{x}=r$ der stabile Fixpunkt.

Transstabil.png

Pitchfork Bifurkation

Wie wir sehen werden handelt es sich bei Pitchfork Bifurkationen um Situationen bei denen eine gewisse Symmetrie vorhanden ist. Man unterscheider zwei Arten von Pitchfork Bifurkationen, die Superkritische und die Subkritische Pitchfork Bifurkation.

Superkritisch

Die Sperkritische Pitchform Bifurkation hat die Normalform \begin{align} \dot{x}=rx-x^3 \tag{4} \end{align} und ist invariant unter der Variablentransformation $x \rightarrow -x$, sodass also $f(x,r)=f(-x,r)$ ist. Es ist also eine Symmetrie in der Ortsvariablen $x$ vorhanden. Ein anschauliches Beispiel für eine solche Situation ist ein Balken der mit einer Kraft $F$ belastet wird.

Knicken.png

Wenn die Kraft $F$ einen kritischen Wert $F_c$ überschreitet, knickt der Balken nach links oder rechts weg. Man sieht, dass aufgrund der Symmetrie des Problems sowohl eine horizontale Auslenkung nach rechts ($+x$) als auch eine horizontale Auslenkung nach links ($-x$) möglich ist. Zur genauen Untersuchen der Gleichung (4) betrachten wir die Vektorfelder für unterschiedliche Kontroll Parameter.

Pitch.png

Für $r<0$ gibt es nur einen stabilen Fixpunkt $x=0$ der bis zum kritischen Kontroll Parameter $r_c=0$ erhalten bleibt. Man beachte, dass für $r \rightarrow 0$ die Steichung $\ddot{x}(x=0)$ der Kurve $\dot{x}(x)$ ebenfalls gegen null geht (siehe Abbildung). Das bedeutet die Beschleunigung des Flusses geht also gegen null. Man spricht deshalb auch vom kritischen Langsamwerden, denn das System kehrt in der Nähe von $r_c$ nur langsam zur Ruhelage zurück. Außerdem führen pertubationen eines Systems im Gleichgewicht für kleine Kontrollparameter $r$ zu großen Auslenkungen aus der Ruhelage (kritische Fluktuationen). Für Werte $r>0$ wird der Fixpunkt $\bar{x}=0$ instabil und es entstehen zwei neue stabile Fixpunkte bei $\bar{x}=\pm \sqrt{r}$ die symmetrisch im selben Abstand vom Urspung angeordnet sind (Bistabil). Das System kann aber nur einen der beiden Gleichgewichtslagen realisieren, deshalb kommt es zum Symmetriebruch.

Quad.png

Subkritisch

Die Subkritische Bifrukation hat die Normalform \begin{align} \dot{x}=rx+x^3 \end{align} Vergleich der Superkritischen Bifurkation mit der Subkritischen Bifurkation zeigt, dass bei der Subkritischen Bifurkation der Fixpunkt $\bar{x}=0$ für $r<0$ bis $r_c=0$ nicht mehr stabil sondern instabil ist, also genau umgekehrt wie bei der Superkritischen Bifurkation. Das selbe gilt für die entstehenden Fixpunkte bei $\pm \sqrt{r}$ die hier instabil sind, bei der Superkritischen Bifurkation aber stabil.

Sub.png

Für $r<0$ besteht ein stabiler Fixpunkt für kleiner werdende Werte $r$ wandern die instabilen Fixpunkte immer näher nach $x=0$ bis sich bei $r_c=0$ die Fixpunkte zu einem instabielen Fixpunkt vereinen.

Subdia.png

Imperfekte Bifurkation