Bifurkationen in der Ebene

From bio-physics-wiki

Jump to: navigation, search
Die topologische Struktur des dynamischen Systems wird durch die Parameter bestimmt.
Parameterraum des Glykolytischen Oszillators
Wie bei Bifurkationen auf der Linie von Systemen im $\mathbb{R}^1$ ist auch in der Ebene $\mathbb{R}^2$ das entstehen und verschwinden von Fixpunkten möglich. Zusätzlich können in der Ebenen nun auch Grenzzyklen entstehen und verschwinden. Ähnlich wie in einer Dimension interessiert das qualitative Verhalten in Abhängigkeit der Kontrollparameter. Weil es sich nun um mehrere Kontrollparameter handeln kann, spricht man vom Parameterraum, in der Ebene auch vom $(a,b)$-Raum der die topologische Struktur des dynamischen Systems bestimmt.

Ein Beispiel für einen zweidimensionalen Parameteraum ist der Glykolytische Oszillator für den wir Folgenden Parameterraum bestimmt haben.


Contents

Sattelpunkt-Bifurkation

Das prototypische Beispiel der Sattelpunk Bifurkation ist \begin{align} \dot{x}&=\mu - x^2\\ \dot{y}&=-y \end{align} (vergl. Sattelpunkt-Bifurkation auf der Linie) die erste Dimension enspricht also der Sattelpunkt-Bifurkation auf der Linie, während $y$ exponentiell abnimmt. Beachte, das System ist entkoppelt (siehe Lineare Systeme).

Psaddle.png

Für $\mu>0$ existiert ein instabiler Fixpunkt bei $(-\sqrt{\mu},0)$ und ein stabiler Fixpunkt bei $(\sqrt{\mu},0)$. Für $\mu=0$ wird der Fixpunkt Semistabil. Sogar für $\mu<0$, wenn der Fixpunkt verschwindet bleibt ein Flaschenhals zurück. Ein anderes Beispiel für eine Sattelpunkt-Bifurkation ist der genetische Schalter.

Transkritische-Bifurkation

Das prototypische System für die Transchritische-Bifurkation lautet in Analogie zum eindimensionalen Fall \begin{align} \dot{x}&=\mu x -x^2\\ \dot{y}&=-y \end{align} Die x-Komponente entspricht also genau der transkritischen-Bifurkation auf der Line. In y-Richtung ist das System exponentiell gedämpft.

Pitchfork-Bifurkation

Analog zur Pitchfork-Bifurkation in einer Dimension erhalten wir in der Ebene
Superkritisch \begin{align} \dot{x}&=\mu x -x^3\\ \dot{y}&=-y \end{align} Subkritisch \begin{align} \dot{x}&=\mu x +x^3\\ \dot{y}&=-y \end{align} man Beachte, dass die Systeme bisher alle entkoppelt waren, das ist bei der nächsten Bifurkation nicht mehr der Fall.

Hopf-Bifurkation

Hopf-Bifurkation
Ein System das eine superkritische Hopf-Bifurkation durchführt ist dadurch gekennzeichnet, dass sich ein stabiler Fixpunkt beim Überschreiten von $\mu_c$ dem kritischen Wert des Kontrollparameters instabil wird und ein stabiler Grenzzyklus entsteht. Ein einfaches Beispiel ist das System

\begin{align} \dot{r}&=\mu r - r^3\\ \dot{\theta}&=\omega + b r^2 \end{align} (vergl. Pitchfork Bifurkation). Die superkritische Hopf-Bifurkation kommt im Modell des Brusselators vor, ein System das die Dynamik der Belousov-Zhabotinsky Reaktion beschreibt.