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Niels Bohr kam 1913 nach langen Bemühungen zum Planetenmodell des Atoms, welches eine Weiterentwicklung des Rutherford'schen Atommodells ist. Im Bohr'schen Atommodell läuft ein Elektron mit Geschwindigkeit $v$ auf einer Kreisbahn mit Radius $r$ um den Schwerpunkt von Atomkern und Elektron. Der Atomkern hat die Masse $m_K$ und die Ladung $Z\cdot e$. Das Elektron-Kern System lässt sich durch die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $\mu = m_e \cdot m_K/(m_e +m_K)\approx m_e$ beschreiben.

• Zentripedal und Coulombkraft zwischen Kern und Elektron müssen im Gleichgewicht sein.
  

$-\frac{\mu v^2}{r}\hat{\mathbf{e}}_r=-\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Ze^2}{r^2}\hat{\mathbf{e}}_r$

daraus ergibt sich der Radius der Kreisbahn

$r=\frac{Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0 \mu v^2}$

• Erstes Bohrsches Postulat: Das Elektron kann nicht jeden beliebigen Bahnradius annehmen. Der Radius ist auf diskrete Werte beschränkt. Der zu diesen Radien gehörende Umfang muss ein Vielfaches der de Broglie Wellenlänge $\lambda=h/(\mu v)$ sein.
  

$2 \pi \cdot r = n \cdot \lambda_D \hspace{1cm} n=1,2,3,\dots$

$\Rightarrow v=n \cdot \frac{h}{2\pi \mu r}$

$r=\frac{n^2 h^2 \cdot \varepsilon_0}{\pi \cdot \mu \cdot Z \cdot e^2}=\frac{n^2}{Z} a_0$

$a_0=\frac{ h^2 \cdot \varepsilon_0}{\pi \cdot \mu \cdot e^2}$ heißt Bohr'scher Radius.

• Zweites Borhsches Postulat: Das Elektron kann seinen Zustand wechseln indem es von einem Energieniveau auf ein anderes springt. Die möglichen Energiezustände sind dabei diskret, wie im Folgenden gezeigt wird.
  

Wegen $E_{kin}=\frac{\mu v^2}{2}=\frac{1}{2}\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r}=-\frac{1}{2}E_{pot}$ ist die Gesamtenergie $E=E_{kin}+E_{pot}=-\frac{1}{2}\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r}$

Wenn wir nun den Radius $r$ einsetzen, erhalten wir für die möglichen diskrete Energiezustände

$E_n=-\frac{\mu e^4 \cdot Z^2}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}=-R_y' \cdot \frac{Z^2}{n^2}$

mit $R_y'=R_y \cdot h \cdot c =\frac{\mu e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}=13,6056922eV \dots$ entspricht der Ionisierungsenergie für das H-Atom

$n \dots$ ist die Hauptquantenzahl

Man nennt stationäre Energiezustände des Atoms auch Quantenzustand.

• Drittes Bohrsches Postulat: Der Drehimpuls kann nur ganze Vielfache von $\hbar$ annehmen, weil $v=n \cdot \frac{h}{2\pi \mu r}$ ist und damit

$\mu \cdot r \cdot v = |\ell|=n\cdot \hbar$

Nach dem Bohrschen Atommodell kann das Atom Photonen mit der Frequenz $\nu = (E_k-E_i)/h$ absorbieren und emittieren. Einsetzen der diskereten Energieformel liefert

$\nu = \frac{R_y'}{h} Z^2 \left( \frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_k^2} \right)$

das entspricht mit $\nu = c/ \lambda$ der Formel von Balmer.