Bose-Einstein Statistik

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Bei der Bose-Einstein-Statistik möchte man das Verhalten von z.B. Photonen, Phononen und Cooperpaaren, welche Bosonen mit ganzzahligem Spin sind, untersuchen. Im Gegensatz zur Fermi-Dirac Statistik gilt für Bosonen das Pauliprinzip nicht. Das bedeutet, dass bei niedrigen Temperaturen $T \rightarrow 0$ alle Teilchen den niedrigsten Energiezustand einnehmen können, da es keine Einschränkung der Teilchenzahl für die Besetzung eines Zustands gibt. Es gelten folgende Foraussetzungen:

Die Bosonen sind

  • identisch und
  • ununterscheidbar


Wie bei der Fermi-Dirac Statistik wollen wir die Besetzungswahrscheinlichkeit $f(E_i)=\frac{N_i}{Q_i}$ des $E_i$-ten Energieniveaus berechnen. Dazu müssen wir die Anzahl der möglichen Anodrungen von $N_i$ Teilchen des $Q_i$-fach entarteten Energieniveaus berechnen, wobei Anordungen die sich nur durch eine Permutation der der Teilchen unterscheiden als gleich angenommen werden, die Teilchen sind also ununterscheidbar. Jeder entartete Zustand von $Q_i=1,2,...$ kann als eine Box dargestellt werden, jedes Teilchen als Stern. Beachte, die Teilchen können nun alle den selben Zustand besetzten also in der selben Box sein.

Bose.png

Wir erhalten nun die möglichen Verteilungen der Teilchen auf die Boxen, indem wir das Problem darauf reduzieren, die $(Q-1)$ Zwischenwände der Boxen und die $N$ Teilchen zu betrachten. Dieses Problem kann dann wie gewohnt durch Kombinationen mit klassenweise äquivalenten Objekten berechnet werden. Es gibt dann \begin{align} \binom {N_i+Q_i-1}{Q_i-1} = \frac{(N_i+Q_i-1)!}{(Q_i-1)!N_i!} \end{align} verschiedenen Anordnungen, pro Energieniveau $E_i$. Wir Fragen nun, wie viele Möglichkeiten $\Omega$ es gibt, alle $\sum N_i =N$ Teilchen auf die Energieniveaus $i=1,2,\dots , r$ zu verteilen. Wir erhalten $\Omega$ als Produkt der Binomialkoeffizienten \begin{align} \Omega= \binom {N_1+Q_1-1}{Q_1-1} \cdot \binom {N_2+Q_2-1}{Q_2-1} \dots = \prod_i \binom {N_i+Q_i-1}{Q_i-1} \end{align} Wir schreiben den Logarithmus von $\Omega$ an, und können somit das Produkt in eine Summe umwandeln \begin{align} \ln \Omega = \sum_i \ln \left[ \binom {N_i+Q_i-1}{Q_i-1} \right] = \sum_i \ln \left[ \frac{(N_i+Q_i-1)!}{(Q_i-1)!N_i!} \right] = \sum_i \ln (N_i+Q_i-1)! - \ln (Q_i-1)! - \ln N_i! \end{align} nun können wir die Stirling-Formel anwenden. \begin{align} \ln \Omega = \sum_i (N_i+Q_i-1) \ln (N_i+Q_i-1)-(N_i+Q_i-1) - (Q_i-1) \ln (Q_i-1)+(Q_i-1) - N_i \ln N_i+ N_i \end{align} \begin{align} \ln \Omega = \sum_i (N_i+Q_i-1) \ln (N_i+Q_i-1) - (Q_i-1) \ln (Q_i-1) - N_i \ln N_i \end{align} Wir maximieren diese Funktion mit den Lagrange-Multiplikatoren $\alpha,\beta$ und den Nebenbedingugen $\sum_i N_i=N$ und $\sum_i N_i E_i =E$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial N_i} (N_i+Q_i-1) \ln (N_i+Q_i-1)-(N_i+Q_i-1) - (Q_i-1) \ln (Q_i-1)+(Q_i-1) - N_i \ln N_i+ N_i - \alpha N_i + N - \beta N_i E_i - E=0 \end{align} \begin{align} 1+ \ln (N_i+Q_i-1)-1 - 1- \ln N_i+ 1 - \alpha - \beta E_i =0 \end{align} \begin{align} \ln \frac{(N_i+Q_i-1)}{N_i} \approx \ln \left( 1+\frac{Q_i}{N_i} \right)= \alpha + \beta E_i \end{align} \begin{align} \frac{Q_i}{N_i}=e^{ \alpha + \beta E_i }-1 \end{align} Wir erhalten schließlich die gesuchte Besetzungswahrscheinlichkeit \begin{align} \frac{N_i}{Q_i}=\frac{1}{e^{\alpha + \beta E_i }-1} \end{align} mit $-\alpha=\mu /k_BT$ und $\beta=1/k_B T$ erhalten wir

\begin{align}
\frac{N_i}{Q_i}=\frac{1}{e^{ (E_i-\mu)/kT }-1}
\end{align}
Bose-einstein-fermi-dirac.png



Eine Videovorlesung des "Indien Institute of Technologie Madras" über die Bose-Einstein-Statistik:
Mod-04 Lec-39 Bose-Einstein Statistics [1]