Compton-Effekt

From bio-physics-wiki

Jump to: navigation, search

Wird ein beliebiges Objekt mit Röntgenstrahlen ($\lambda$ von $10^{-8}m$ bis $10^{-12}m$) der Wellenlänge $\lambda_0$ bestrahlt, so wird die Strahlung durch Stöße an z.B. Elektronen gestreut, das Photon verhaltet sich also wie ein Teilchen. Das Photon gibt beim Stoß Energie an das Elektron ab. Die Wellenlänge der Strahlung nach dem Stoß ist darum größer als vor dem Stoß $\lambda > \lambda_0$. Die Differenz der Wellenlänge vor und nach dem Stoß hängt dabei nicht vom Material sondern nur vom Streuwinkel ab.

Wir betrachten nun einen Stoß zwischen Photon und Elektron im Detail. Ist das Elektron in einem Atom gebunden, muss die Bindungsenergie von der kinetischen Energie des Elektrons nach dem Stoß abgezogen werden. Für den Impuls des Photons gilt wegen $E=mc^2=p \cdot c = h \nu \Rightarrow p=h\nu/c$
Comptonstoss.png

Zur Herleitung der Compton-Streuformel benutzen wir die Energie und Impulserhaltung für den Stoß zwischen Photon und Elektron.

Energie des Elektrons vorher Energie des Photons vorher Impuls des Photons vorher Impuls des Elektrons vorher
\( \ E_e=m_0c^2\) \( \ E_\nu^{}=h\nu\) \( \ \mathbf{p}_\nu=\hbar \mathbf{k}\) \( \ \mathbf{p}_e = 0\)
Energie des Elektrons nachher Energie des Photons nachher Impuls des Photons nachher Impuls des Elektrons nachher
\( \ E_e'=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\) \( \ E_\nu^{\prime }=h\nu'\) \( \ \mathbf{p}'_\nu=\hbar \mathbf{k}'\) \( \ \mathbf{p}'_e=\frac{m_0 \cdot \mathbf{v}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\)

Wegen der Energieerhaltung gilt $ \hspace{2cm}E_e + E_\nu=E_e' + E_\nu' \Rightarrow \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=h\nu-h\nu'+m_0c^2$
und wegen der Impulserhaltung $ \hspace{2.4cm}p_e + p_\nu=p_e' + p_\nu' \Rightarrow \frac{m_0 \cdot \mathbf{v}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\hbar \mathbf{k}- \hbar \mathbf{k}'$



  1. Wir quadrieren die Energieerhaltungsgleichung und benutzen $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    \begin{align}\left(\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\right)^2 &=\left( h\nu-h\nu'+m_0c^2\right)^2 \\ \frac{m_0^2c^4}{1-(v/c)^2} &= h^2\nu^2 + h^2\nu'^2+ m_0^2c^4-2h^2\nu\nu'+2m_0c^2h\nu-2h\nu'm_0c^2 \\ \end{align}
  2. bringen $m_0^2c^4$ auf die linke Seite
    \begin{align} \frac{m_0^2c^4}{1-(v/c)^2} &= h^2(\nu - \nu')^2 + 2h(\nu - \nu')m_0c^2 +m_0^2c^4 \\ \frac{m_0^2c^4-(1-(v^2/c^2))m_0^2c^4 }{1-(v/c)^2} = \frac{m_0^2v^2c^2 }{1-(v/c)^2} &= h^2(\nu - \nu')^2 + 2h(\nu - \nu')m_0c^2\\ \frac{m_0^2v^2 }{1-(v/c)^2} &= \frac{h^2}{c^2}(\nu - \nu')^2 + 2h(\nu - \nu')m_0\\ \end{align}
  3. Quadrieren der Impulserhaltungsgleichung ergibt wegen $|\mathbf{p}|=\hbar k=h/\lambda=h\nu /c$
    \begin{align} \frac{m_0^2 \cdot v^2}{1-(v/c)^2}=(\hbar \nu /c -\hbar \nu' /c)^2 = \frac{h^2}{c^2}(\nu^2 +\nu'^2-2\nu\nu'cos(\varphi))\\ \end{align}
  4. Nun können wir die letzte Gleichung aus 2. und die Gleichung aus 3. gleichsetzen

\begin{align} \frac{h^2}{c^2}\left((\nu - \nu')^2 + 2\frac{c^2}{h}(\nu - \nu')m_0 \right) &=\frac{h^2}{c^2}(\nu^2 +\nu'^2-2\nu\nu'cos(\varphi))\\ \frac{c^2}{h}(\nu - \nu')m_0 &=\nu\nu'(1-cos(\varphi))\\ (\nu - \nu') &= \frac{h}{m_0c^2}\nu\nu'(1-cos(\varphi))\\ \end{align}
Schließlich erhalten wir nach einsetzen von $\nu=c/\lambda$ und $(1-cos \varphi)=2sin^2(\varphi/2)$ die Compton-Streuformel \begin{align} (c/\lambda - c/\lambda') &= \frac{h}{m_0\lambda \lambda'}(1-cos(\varphi))\\ (\lambda' - \lambda) &= \frac{h}{m_0c}(1-cos(\varphi))= \frac{h}{m_0c}2sin^2(\varphi/2)\\ \end{align}

$\lambda'-\lambda=2\lambda_csin^2(\varphi/2) \hspace{2cm} \text{mit der Compton-Wellenlänge:}\hspace{1cm}\lambda_c=\frac{h}{m_0c}$