Compton-Effekt mit 4er Vektoren

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Für beliebige Bezugssysteme ist die gezeigte Behandlung des Compton-Effekts ungeeignet. Man kann den Stoß zwischen Photon und Elektron aber auch mit Vierervektoren beschreiben \( \left( \beta=\frac{v}{c} \text{ und } \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \right)\).

Elektron vorher Photon vorher
\(\mathbf{p}^{\mu}= \left(\frac{E_{e}}{c}, \mathbf {p}\right)\) \(\mathbf{q}^{\mu} = \left(\frac{E_\nu}{c}, \frac{E_\nu}{c}\mathbf {n}\right)\)
Elektron nachher Photon nachher
\(\mathbf{p'}^{\mu} = \left(\frac{E'_{e}}{c}, \mathbf {p}'\right)\) \(\mathbf{q'}^{\mu} = \left(\frac{E'_\nu}{c}, \frac{E'_\nu}{c}\mathbf {n}'\right)\)

($\mathbf{n}$ ist der Richtungsvektor des Impulses mit \(\mathbf n^2 = 1\))

Wir benutzen die Impulserhaltung, erhalten

\( \mathbf{p}^{\mu} + \mathbf{q}^{\mu} -\mathbf{q'}^{\mu} = \mathbf{p'}^{\mu}\)

\( (\mathbf{p}^{\mu} + \mathbf{q}^{\mu} -\mathbf{q'}^{\mu})^2 = (\mathbf{p'}^{\mu})^2\)

\( (\mathbf p^{\mu})^2 + 2 \mathbf p_{\mu} \mathbf q^{\mu} - 2 \mathbf{q}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} - 2 \mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} + (\mathbf{q}^{\mu})^2 +(\mathbf{q'}^{\mu})^2 = (\mathbf{p'}^{\mu})^2\).

und berechnen das Quadrat der Impulse

\((\mathbf{p}^{\mu})^2 = (\mathbf{p'^{\mu}})^2 = (m_{0}c)^2 \)

\((\mathbf{q}^{\mu})^2 = (\mathbf{q'}^{\mu})^2 = \frac{E^2_\nu}{c^2}- \frac{E^2_\nu}{c^2}\mathbf{n}^2 = 0\)

bzw. das Produkt der Impulse

\(\begin{align} \mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q}^{\mu} & = E_\nu\left(\frac{E_e}{c^2} - \frac{1}{c} \mathbf p \mathbf n\right)\\ & = E_\nu\left(\frac{\gamma m_{0}c^2}{c^2} - \frac{1}{c}|\mathbf p| |\mathbf n| \cos \Omega\right)\\ & = E_\nu\left(\frac{\gamma m_{0}c^2}{c^2} - \frac{1}{c}\gamma m_{0}c \beta \cos \Omega\right)\\ & = \gamma m_{0}E_\nu (1- \beta \cos \Omega)\end{align}\)
Der Winkel \(\Omega\) wird zwischen Elektronbahn und Photonstrahl vor der Streuung gemessen.

\(\mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} = E'_\nu\left(\frac{E_e}{c^2} - \frac{1}{c} \mathbf p \mathbf n'\right) = \gamma m_{0}E'_\nu (1- \beta \cos \Omega')\)

\(\Omega'\) ist der Winkel zwischen dem Elektronbahn vor der Streuung und dem Photonstrahl nach der Streuung ist.



\(\mathbf q_{\mu} \mathbf q'^{\mu} = \frac{E_\nu E'_\nu}{c^2}(1-\mathbf n \mathbf n') = \frac{E_\nu E'_\nu}{c^2}(1-\cos\varphi)\),

wobei \(\varphi \) der Winkel zwischen dem Photonstrahl vor der Streuung und dem Photonstrahl nach der Streuung ist (siehe Abb. Compton-Effekt).


Wir finden also, dass $(\mathbf{p}^{\mu})^2 = (\mathbf{p'}^{\mu})^2=(m_{0}c)^2$ und $(\mathbf{q}^{\mu})^2 = (\mathbf{q'}^{\mu})^2 = 0$ vereinfacht sich die Quadrierte Energieerhaltungsgleichung zu

\(\mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q}^{\mu} - \mathbf{q}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} - \mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} = 0\).

und setzen die berechneten Produkte in diese Gleichung ein.

\begin{align} \gamma m_{0}E_\nu (1- \beta \cos \Omega) -\gamma m_{0}E'_\nu (1- \beta \cos \Omega') -\frac{E_\nu E'_\nu}{c^2}(1-\cos\varphi) &= 0\\ \gamma m_{0}E_\nu (1- \beta \cos \Omega) -E'_\nu \left(\gamma m_{0} (1- \beta \cos \Omega') -\frac{E_\nu}{c^2}(1-\cos\varphi) \right) &= 0\\ \frac{\gamma m_{0}E_\nu (1- \beta \cos \Omega)}{\left(\gamma m_{0} (1- \beta \cos \Omega') -\frac{E_\nu}{c^2}(1-\cos\varphi) \right)} &= E'_\nu \\ \end{align}

${ E'_\nu} = \frac{ E_\nu(1- \beta \cos \Omega)}{(1- \beta \cos \Omega')+\frac{E_\nu}{c^2 \gamma m_0} (1-\cos\varphi)} $

Somit erhält man mit $\gamma =1$ und $\beta$=0 den Spezialfall bei dem das Elektron vor dem Stoß ruht. $ E'_\nu = \frac{E_\nu}{1+ \frac{E_\nu}{c^2 m_0} (1-\cos\varphi)}$