Debye Modell

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Im gegensatz zum Einstein Modell indem nur eine Grundfrequenz $v_E$ vorkommt, wird im Debye Modell eine Frequenzverteilung angenommen, wobei die Zustandsdichte proporitonal zum Quadrat der Frequenz $\nu$ ist \begin{align} \rho(\nu)\propto \nu^2 \end{align}

DFPT: Zustandsdichte mit density-functional perturbation theory ermittelt; (rot) Debye Näherung mit Debye-Frequenz $v_D$; Einstein Modell Grundfrequenz $v_E$

Im Wellenbild ergibt sich die Gesamtenergie aus der Summe über alle Normalschwingungen $v_i$ mit der Energie $h\nu_i$. Entsprechend wird über die Schwingungsquanten (Quasiteilchen), die Phononen $N_i$ mit gleicher Energie summiert. \begin{align} E_{vib}=\sum_{i=1}^{3N}h\nu_i \cdot v_i=h\nu_i \cdot N_i \end{align} Weil die Anzahl der Phononen keine Erhaltungsgröße ist muss das Potential der Bose-Einstein-Verteilung Null sein $\mu=0$. Die mittlere Besetzungswahrscheinlichkeit ist daher gemäß der Bose-Einstein Statistik \begin{align} \langle N_i \rangle = \frac{1}{e^{h\nu_i/kT}-1} \end{align} Die Zustandsdichte für nichtwechselwirkende Phononen können wir wie beim idealen Gas mit Teilchen in einem Kastenpotential annehmen. \begin{align} \rho(E)= \frac{\pi}{4} \left(\frac{8m}{h^{2}} \right)^{3/2} V \cdot E_n^{1/2} \end{align} Im Impulsraum erhalten wir für diese Zustandsdichte (ohne Herleitung) \begin{align} \rho(p)= 3 \cdot \left(\frac{4\pi}{h^{3}} \right)^{3/2} V \cdot p^2 \end{align} Welche wir mit der Beziehung $\rho(p)dp=\rho(\nu)d\nu$ und dem Zusammenhang $p=\hbar k=h\nu/v_{ph}$ in eine Zustandsdichte in Abhängigkeit von $\nu$ umschreiben können. \begin{align} \rho(\nu)=\rho(p)\frac{dp}{d\nu}= 3 \cdot \frac{4\pi}{h^{3}} V \cdot p^2\frac{h}{v_{ph}}= 3 \cdot \frac{4\pi}{h^{3}} V \cdot \left(\frac{h\nu}{v_{ph}}\right)^2\frac{h}{v_{ph}}=\left(\frac{12\pi V}{v_{ph}}\right)\nu^2 \end{align} Wie im Artikel Frequenzspektren und -dichte erklärt, ist die Phasengeschwindigkeit $v_{ph}$ im Debye Modell konstant. \begin{align} v_{ph}=\omega/k=2\pi\frac{\nu}{k} \end{align} Man nimmt an die Frequenz steigt quadratisch bis zur Debye Frequenz $\nu_D$. Das Integral der Zustandsdichte bis zur Debye Frequenz muss deshalb alle $3N$ Teilchen enthalten. \begin{align} \int_0^{v_D} \rho(\nu) d\nu = 3N \Rightarrow v_D = \left( \frac{3N}{4\pi V} \right)^{1/3} v_{ph} \end{align} Mit der Debye-Frequenz können wir die Zustandsdichte umschreiben zu \begin{align} \rho(\nu )=\left( \frac{9N}{v_{ph}^3} \right) \cdot \nu^2 \end{align} Mit \begin{align} z(v,T) = \left( \frac{1}{1-e^{-h\nu/kT}} \right) \end{align} Können wir die Helmholtz-Energie berechnen \begin{align} \frac{A}{kT} &= - \int_0^{v_D} \ln(z) \rho(\nu )d \nu \\ &=3N \ln(1-e^{-\frac{T}{\Theta_D}}) - 3N \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\Theta /T} \frac{x^3}{e^x-1} dx \end{align} wobei ${\Theta_D}=h\nu_D/k$ die Debye-Temperatur ist. Die selbe Rechnung wie im Artikel Einstein Modell ergibt für die Innere Energie \begin{align} U=9Nk \theta_D \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^4 \int_0^{\Theta_D /T} \frac{x^3}{e^x-1} dx \end{align} Die Wärmekapazität ist damit \begin{align} C_V&=\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{V,N}=9Nk \Theta_D \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\Theta_D /T} \frac{x^4}{(e^x-1)^2} dx=3Nk \cdot D \left( \frac{T}{\Theta_D} \right) \end{align} Mit der Debye-Funktion \begin{align} D \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)=\int_0^{\Theta_D /T} \frac{x^4}{(e^x-1)^2} dx \end{align}