Differenzengleichungen

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Differenzengleichungen (engl. Finite-Difference Equations) sind eindimensionale diskrete Abbildungen (engl. one-dimensional Maps) bei der die Folgeglieder durch Rekursion bestimmt werden können. \[x_n = f(x_{n-1}, x_{n-2}, ..., x_1, x_0) \,\] Man nennt die Sequenz $x_0,x_1,x_2,\dots$ also die Folge der rekursiven Lösungen den Orbit einer Abbidlung, der bei $x_0$ startet. Im Sprachgebrauch wird nicht zwischen der Funktion $f$ und dem Orbit $x_n = f(x_{n-1}, x_{n-2}, ..., x_1, x_0)$ unterschieden, sie werden beide Abbilung genannt. Wie gewöhnliche Differentialgleichungen besitzen auch Differenzengleichungen Fixpunkte $x^*$.

Angenommen $x^*$ erfüllt die Gleichung $f(x^*)=x^*$ dann ist $x^*$ ein Fixpunkt, denn für $x_n=x^*$ gilt $x_{n+1}=f(x_{n})=f(x^*)=x^*$. Der Orbit bleibt also am Fixpunkt $x^*$ für alle Zeit. Um die Stabilität eines Orbits zu bestimmten betrachten wir einen Orbit $x_n=x^*+\eta_n$ in der Nachbarschaft von $x^*$ und fragen, ob der Fixpunkt, ein Attraktor oder ein Repeller für $x_n$ ist. Dazu entwickeln wir die Abbildung um den Fixpunkt

\begin{align} x^*+\eta_{n+1}=x_{n+1}=f(x^*+\eta_n)=f(x^*)+f'(x^*)\eta_n+O(\eta_n^2) \end{align} Laut Voraussetzung gilt am Fixpunkt $f(x^*)=0$. Wenn wir Terme höherer Ordnung $O(\eta_n^2)$ vernachlässigen erhalten wir die linearisierte Abbildung \begin{align} \eta_{n+1}=f'(x^*) \cdot \eta_n \end{align} mit dem Eigenwert $\lambda=f'(x^*)$ (auch Faktor genannt). Die Lösung für das $n$-te Folgenglied ist dann \begin{align} \eta_{n}^n=\lambda^n \cdot \eta_0 \end{align} somit ergeben sich folgende Fälle für die Stabilität des Fixpunktes

  • $|\lambda|=|f'(x^*)|<1 \rightarrow$ linear stabiler Fixpunkt, da $\eta_n \rightarrow 0$ für $n \rightarrow \infty$
  • $|\lambda|=|f'(x^*)|>1 \rightarrow$ instabiler Fixpunkt
  • $|\lambda|=|f'(x^*)|=1\rightarrow$ marginal stabiler Fixpunkt: grenzfall bei dem Terme höherer Ordnung $O(\eta_n^2)$ die Stabilität bestimmen

Beispiel
Bestimme die Fixpunkte für die Abbildung $x_{n+1}=x_n^2$, sowie deren Stabilität.

Der Fixpunkt erfüllt $x^*=(x^*)^2$ daraus ergeben sich die Lösungen $x^*_1=0,x^*_2=1$. Für den Eigenwert erhalten wir $\lambda=f'(x^*)=2x^*$, also ist $x^*_1=0$ stabil und $x^*_2=1$ marginal stabil.


Man kann sich die rekusive Bestimmung der Zahlenfolge und die Frage nach Fixpunkten an einer sogenannten Spinnwebe (engl. cobweb) veranschaulichen, dabei werden die iterationen grafisch dargestellt. Dazu zeichnet man die Funktion $x_{n+1}=f(x_n)$ und den Median $x=y$ ein. Man startet beim Anfangswert $x=x_0$ mit einer vertiklen Line die an $f(x_n)$ und dem Median sukzessive reflextiert wird, wie im folgenden gezeigt.

Cobweb.gif

Beachte, man bestimmt den Schnittpunkt von $x_0$ mit $y_0=f(x_0)$ und überträgt nun den $y$-Wert beim Median $x_1=y_0$ auf den 'neuen' x-Wert, den man wiederum in $y_1=f(x_1)$ einsetzt usw. In diesem Beispiel existiert ein Fixpunkt beim Schnittpunkt von $f(x_n)$ mit dem Median.

Cobweb in Matematica
Mit folgendem Matematica code can man solche Spinnweben einfach generieren

$ClearAll[CobwebPlot]
SetAttributes[CobwebPlot, HoldAll]
CobwebPlot[f_, start_?NumericQ, n_, {xrange:{xmin_, xmax_}, yrange:{_, _}}]:=Module[{cob, x, g1, coor},
    cob = NestList[f, start, n];
    coor = Partition[Riffle[cob, cob], 2, 1];
    coor[[1, 2]] = 0;
    
    g1 = Graphics[{Red, Line[coor]}];
    Show[{Plot[{x,f[x]},{x,xmin,xmax}, PlotStyle->{{Thick,Black}, Black}, PlotRange->{xrange,yrange}],g1}]]$

This function has the following arguments:

  • First: your pure function (e.g.: 0.7-(#-0.5)^2& ) or built-in function (e.g.: Cos, Sinc, …).
  • Second: starting position: x-value, line starts drawing at {x,0}.
  • Third: number of iterations.
  • Last: plotranges in the form: {{xmin,xmax},{ymin,ymax}}.

z.B. CobwebPlot[-3 (-1 + #) # &, 0.2, 10, {{0, 1}, {0, 1}}]

Quelle:[1]

weitere Beispiele für Differenzenzengleichungen sind die Poincare Abbildungen und die Logistische Gleichung.