Dispersionsrelation für Teilchen

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Wir haben bereits die Wellenfunktion als Lösung der Wellengleichung kennengelernt

$\psi(\mathbf{r},t) = c \cdot e^{i(\omega t - k \mathbf{r})}$

Für ein Teilchen gilt $E=h \nu = \hbar \omega$ und $p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$ wenn wir diese Ausdrücke in die Wellengleichung einsetzen erhalten wir eine Materiewelle

$\psi(\mathbf{r},t) = c \cdot e^{\frac{i}{\hbar}(E \cdot t - \mathbf{p} \cdot \mathbf{r})}$



Dispersionsrelation für Teilchen

  • Die Phasengeschwindigkeit für elektromagnetische Wellen im Vakuum entspricht der Lichtgeschwindigkeit $v_{ph}=c$. Die Dispersion ist im Vakkum also null $\frac{dv_{ph}}{d\lambda}=0$.

  • Das gilt jedoch nicht für Materiewellen! Man kann die Phasengeschwindigkeit mithilfe der de Broglie $p=\hbar k$ bzw. Einstein-Beziehung $E=h\nu$ ausdrücken als

$v_{ph}=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}=\frac{\gamma m c^2}{\gamma m v_T}=\frac{c^2}{v_T}$

$v_{ph}\cdot {v_T}=c^2$

Weil die Teilchengeschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit $c$ ist, muss die Phasengeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit sein

$v_{T}<c \Rightarrow v_{ph}>c$

  • Die Phasengeschwindigkeit ist für Teilchen immer eine Funktion von $\lambda$

$v_{ph}=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}=\frac{E}{h}\lambda$

  • Für den gewöhnlichen Ansatz der Wellenfunktion $c \cdot e^{i(\omega t-\mathbf{kr})}$ in Abhängigkeit von $k$ erhält man die lineare Dispersionsrelation durch einsetzen der Ableitungen

$\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}=-k_i^2 \cdot u$

in die Wellenfunktion

$-u(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2)=-u\frac{1}{c^2} \omega ^2 \Rightarrow c^2=\frac{\omega^2}{k^2} \Rightarrow \omega=c\cdot k$

  • Dispersionsrelation für Materieteilchen

Da Teilchen durch ihre Masse Ruheenergie besitzen, enthält die Wellenzahl einen zusätzlichen Ausdruck $k_r$. Um das zu erkennen, setzen wir $E=\hbar \omega$ und $p_i=\hbar k_i$ in die Energie-Impulsbeziehung

$E^2=m^2c^4+\mathbf{p}^2c^2 \Rightarrow \frac{E^2}{c^2}=m^2c^2 + (p_1^2+p_2^2 +p_3^2)$

ein und erhalten

$\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2} + (k_1^2+k_2^2 +k_3^2)$

wobei $\frac{m^2c^2}{\hbar^2}$ wegen der Ruheenergie $E_r=mc^2=\hbar \omega_r$ gleich $\omega_r$ der Kreisfrequenz der Ruheenergie entspricht

$\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{\omega_r^2}{c^2} + (k_1^2+k_2^2 +k_3^2)=\frac{\omega_r^2}{c^2} + k^2=k_0^2+k^2$

Das Photon hat keine Ruhemasse und daher $\omega_r=0$



  • Für den Specialfall der Relativistischen Mechanik mit $\gamma \approx 1$ gilt Näherungsweise die Newtonsche Mechanik und für $\omega$ gilt

$E_{kin}=\frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2=\hbar \omega$

$\omega=\frac{\hbar}{2m}(k_1^2+k_2^2 +k_3^2)$

Man erhält näherungsweise, dass die Gruppengeschwindigkeit gleich der Teilchengeschwindigkeit ist

$v_G=\frac{d\omega}{dk}=\frac{d}{dk}\frac{\hbar k^2}{2m}=\frac{\hbar k}{m}=\frac{p}{m}=v_T$

Wellenpaket

Ein Wellenpaket ist eine örtlich begrenzte elektromagnetische Welle die durch Überlagerung von Teilwellen entsteht. (z.B. das Gaußsche Wellenpaket). Durch Linearisieren der Kreisfrequenz $\omega$ bekommt einen expliziten Ausdruck für die Gesamtamplitude, welche sich mit Gruppengeschwindigkeit $v_G$ ausbreitet

$\psi= \sum\limits_j c \cdot e^{i(w_jt-k_j\mathbf{r})}$

Durch Linearisieren der Kreisfrequenz $\omega$ bekommt man einen expliziten Ausdruck für die Gesamtamplitude, welche sich mit Gruppengeschwindigkeit $v_G$ ausbreitet.