Einstein Modell

From bio-physics-wiki

Jump to: navigation, search

Das 1907 von Albert Einstein aufgestellte Einstein Modell behandelt einen Festkörper als eine Ansammlung von $3N$ harmonischen Oszillatoren, die nicht miteinander Wechselwirken und stellt somit die einfachst mögliche Näherung dar, welche nur für kubische Kristallstrukturen sinnvoll ist.

Man geht davon aus, dass alle $N$ Atome die selbe Grundschwingungsfrequenz $\nu_E$ in drei Raumdimensionen besitzen. Damit ergibt sich für die Zustandsdichte $\rho_E(\nu)$ eine Deltafunktion \begin{align} \rho(E)=3N \cdot \delta(\nu-\nu_E) \end{align} Phononen sind Bosonen, deshalb gilt für sie die Bose-Einstein Statistik. Die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustandes mit der Energie $h\nu$ ist durch die Bose-Einstein Statistik gegeben mit \begin{align} P_{\nu}=\frac{1}{1-e^{-h\nu/kT}} \end{align} Da nur eine Enerige $h\nu_E$ besetzt ist, gilt für die mittlere Besetzungszahl, also den Mittelwert der Phononen, die sich auf dem Energieniveau $h\nu_E$ befinden. \begin{align} \langle n \rangle=\frac{3N}{1-e^{-h\nu/kT}} \end{align} Damit ergibt sich dei mittlere Enerige pro Teilchen $\langle E \rangle$, wenn jeder Oszillator dieselbe Energie $E=h\nu_E$ besitzt zu \begin{align} \langle E \rangle=\frac{h\nu_E}{1-e^{-h\nu/kT}} \end{align} Die Zustandssumme, welche dann nur noch Terme einer Energie $h\nu_E$ enthält, besteht aus dem Produkt von $3N$ Termen. \begin{align} Z(N,T)=[z(\nu_E)]^{3N}=\left( \frac{1}{1-e^{-h\nu/kT}} \right)^{3N} \end{align} Daraus lässt sich die Helmholtz-Energie berechnen. \begin{align} A(N,T)&=-kT \ln Z(N,V,T)\\ A(N,T)&=3NkT \ln(1-e^{-h\nu/kT})\\ \end{align} Aus dieser Wiederum die Entropie $S$ \begin{align} S&= - \left( \frac{dA(N,T)}{dT} \right)_{N}\\ S&=3Nk\ln(1-e^{-h\nu/kT}) +3NkT \cdot \frac{1}{1-e^{-h\nu/kT}} \cdot \frac{h\nu}{kT^2} \end{align} Aus der Definition der Helmholtz-Energie lässt sich durch umformen die innere Enerige $U$ berechnen. \begin{align} A&=U+TS\\ U&=A-TS\\ U&=3NkT \ln(1-e^{-h\nu/kT})-3NkT\ln(1-e^{-h\nu/kT}) -3Nk \cdot \frac{1}{1-e^{-h\nu/kT}} \cdot \frac{h\nu}{k}\\ U&=3N \cdot \frac{h\nu}{e^{-h\nu/kT}-1} \end{align} Wir hätten dieses Ergebnis auch erhalten, wenn wir die mittlere Energie eines Teilchens mal der Anzal der Teilchen gerechnet hätten. Die hier präsentierte Methode zeigt aber die vielfältigen Berechnungsmöglichkeiten die sich allein aus der Kenntnis der Zustandssumme ergeben. Mit der inneren Energie sind wir in der Lage die Wärmekapazität $C_V$ zu berechnen. \begin{align} C_V&=\left( \frac{dU(T)}{dT} \right)_{V,N}\\ C_V&= -\frac{d}{dT}3Nk \cdot (e^{-h\nu/kT}-1)^{-1} \cdot \frac{h\nu}{k}=3Nk \cdot(e^{-h\nu/kT}-1)^{-2} \cdot e^{-h\nu/kT} \cdot \left( \frac{h\nu}{kT} \right)^2\\ \end{align} Wir erhalten als Ergebnis

\begin{align}
 C_V&=3Nk \cdot\frac{e^{-h\nu/kT}}{(e^{-h\nu/kT}-1)^{2}} \cdot \left( \frac{h\nu}{kT} \right)^2\\
 \end{align}

Man nennt den Faktor $\Theta=\frac{h\nu}{k}$ die charakteristische Einsteintemperatur.

Für sehr große Temperaturen $T\Rightarrow \infty$ so gilt $x=\Theta/T <<1$. Teylorreihenentwicklung der Wärmekapazität ergibt dann:

\begin{align} C_V(\Theta/T <<1)&=3N_Ak \cdot\frac{x^2e^{-x}}{(e^{-x}-1)^{2}} \approx 3N_Ak \cdot\frac{x^2(1+x+\dots)}{(1-(1+x+\dots -1))^{2}}\approx 3N_Ak\\ \end{align} was genau dem Dulong-Petitschen Gesetz entspricht.


Für kleine Temperaturen $T\Rightarrow 0$ gilt $x=\Theta/T >>1$. Wir können dann den $-1$ vernachlässigen und erhalten \begin{align} C_V(\Theta/T <<1)&=3N_Ak \cdot\frac{x^2e^{-x}}{(e^{-x}-1)^{2}} \approx 3N_Ak \cdot\frac{x^2}{e^{-x}}=3N_Ak \cdot\frac{(\Theta/T)^2}{e^{-(\Theta/T)}}\\ \end{align}