Emissions- und Absorptionsvermögen von Körpern

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Dieser Link enthält die Orginal Ausgabe von Gustav Kirchhoffs Veröffentlichungen "Über das Verhältnis zwischen Emissions und Absorptionsvermögen der Körper für Wärme und Licht".

Gustav Kirchhoff 1860: "Ein Körper der in einer Hülle sich befindet, deren Temperatur der seinigen gleich ist, ändert durch Wärmestrahlung nicht seine Temperatur, absorbiert also in einer gewissen Zeit ebensoviele Strahlen wie er aussendet. [...]Ich habe nun gefunden, dass jener Satz seine Gültigkeit auch dann behält, sobald man nun unter dem Emissionsvermögen die Intensität der ausgesendeten Strahlen einer Gattung versteht und das Absorptionsvermögen auf Strahlen der selben Gattung bezieht. Das Verhältnis zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen ist für alle Körper bei der selben Temperatur dasselbe."

Für den Beweis dieser letzten Aussage betrachten wir folgenden Aufbau

Kirchhoffskizze.png


G. Kirchhoff: " §1. Vor einem Körper $C$ denke man sich zwei Schirme aufgestellt, in welchen die beiden Öffnungen $1$ und $2$ sich befinden deren Dimension undendlich klein gegen ihre Entfernung ist, und von denen eine jede einen Mittelpunkt hat. Durch diese Öffnungen tritt von dem Körper $C$ ein Strahlenbündel. Von diesem betrachtet man den Teil, dessen Wellenlängen zwischen $\lambda + d \lambda$ liegen und zerlege denselben in zwei polarisierte Komponenten, die aufeinander rechtwinkligen, durch die Axe des Strahlenbündels gehenden Ebenen $a$ und $b$ sind. Die Intensität der nach $a$ polarisierten Komponente sei $E d\lambda$; $E$ heiße das Emissionsvermögen des Körpers.
Auf den Körper falle umgekehrt durch die Öffnungen $2$ und $1$ ein Strahlenbündel der Wellenlänge $\lambda$ das nach der Ebene $a$ polarisiert ist; von diesem absorbiert der Körper einen Teil; während er das übrige teils durchlässt, teils reflektiert; das Verhältnis der Intensität der absorbierten Strahlen zu der der auffallenden sei $A$ und heiße Absorptionsvermögen.
[...]Der Beweis, welcher für die Ausgesprochenen Behauptungen hier gegeben werden soll, berhuht auf der Annahme, das Körper denkbar sind, welche bei unendliche kleiner Dicke, alle Strahlen die auf sie fallen, vollkommen absorbieren, also Strahlen weder reflektieren, noch hindurchlassen. Ich will solche Körper vollkommen schwarze, oder kürzer schwarze, nennen. Es ist nötig, zuerst die Strahlung solcher schwarzer Körper zu untersuchen.
§2. Es sei $C$ ein schwarzer Körper sein Emissionsvermögen das im Allgemeinen mit $E$ bezeichnet ist, werde $e$ genannt."

Es folgt aus der Beweisführung von Kirchhoff (siehe §2-§11), was heute als das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz bekannt ist:

\begin{align} \frac{E}{A}=e \end{align}



G. Kirchhoff: "§16. [...] eine Folgerung aus dem bewiesenen Satze [...] wenn ein Raum von Körpern gleicher Temperatur umschlossen ist, und durch diese Körper keine Strahlen hindurch können, so ist ein jedes Strahlenbündel im Inneren des Raumes seiner Qualität und Intensität nach gerade so beschaffen, als ob es von einem vollkommen schwarzen Körper derselben Temperatur herkäme, ist also unabhängig von Beschaffenheit und Gestalt der Körper und nur durch die Temperatur bedingt. Die Richtigkeit dieser Behauptung sieht man, wenn man erwägt, dass ein Strahlenbündel, welches die selbe Gestalt und die entgegengesetzte Richtung, als das Gewählte hat, bei den unendlich vielen Reflexionen, die es nacheinander an den erdachten Körpern erleidet, vollständig absorbiert wird."

Der hier von Kirchhoff beschriebene Raum, wird Hohlraum genannt. Wir führen der Einfachheit halber einen alternativen Beweis und benutzen die Eigenschaften des Hohlraums. Die vom Hohlraum im Thermodynamischen Gleichgewicht mit den umgebenden Körpern, bei Temperatur $T$ emittierte elektromagnetische Strahlung wird Hohlraumstrahlung genannt.

  • Im stationären Zustand müssen Emission und Absorptions der Hohlraumwände im Gleichgewicht sein.

$\hspace{1cm} \Phi_A=\Phi_E$

  • Die Hohlraumstrahlung ist isotrop (d.h. in alle Richtugen gleich groß) und homogen (Energiedichte $\omega$ überall gleich groß). Sonst könnte man eine schwarze Scheibe im Hohlraum so orientieren, dass sie sich aufheizt. Das wäre im Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

Wir betrachten einen Hohlraum in dem sich ein Körper befindet dessen Fläche $dF$ unter dem Winkel $d\Omega$ mit dem Strahlsungsfluss $\Phi_A$ bestrahlt wird. Der Körper strahlt unter dem selben Winkel $\Phi_E$ ab.

Kirchhoffsches Gesetz


\begin{align} \Phi_A&=A_{\nu} \cdot L_{\nu} \cdot dF \cdot d\Omega \cdot d\nu\\ \Phi_E&= \underbrace{E_{\nu} \cdot L_{\nu}}_{\text{Emissionsvermögen: } L_{\nu, E}} \cdot dF \cdot d\Omega \cdot d\nu \end{align} Dann gilt im Thermodynamischen Gleichgewicht $\hspace{1cm} \Phi_A=\Phi_E$

\(L_{\nu}(T)=\frac{L_{\nu,E}}{A_{\nu}}\)
Der Schwarze Körper hat das Absorptionsvermögen $A=1$
$\Rightarrow$ $L_{\nu,E}=L_{\nu}(T)$

Das Emissionsvermögen $L_{\nu, E}$ eines Schwarzen Körpers entspricht der Strahlunsdichte $L_{\nu}(T)$ der Hohlraumstrahlung.

Gute Absorber sind gute Emitter: $E(\nu,T)=A(\nu,T)$



Transmissionsgrad
$T=\frac{\text{transmittierte Strahlungsfluss}}{\text{auftreffenede Strahlungsfluss}}=\frac{\Phi_t}{\Phi_i}$



Reflexionsgrad
$R=\frac{\text{reflektiert Strahlungsfluss}}{\text{auftreffenede Strahlungsfluss}}=\frac{\Phi_r}{\Phi_i}$

Aufgrund der Energieerhaltung muss gelten
$R+T+A=1$