Erweitertes Amperesches Gesetz

From bio-physics-wiki

Jump to: navigation, search

Ein stromdurchflossener Leiter wird von einem magnetischen Wirbelfeld umgeben. Diese experimentelle Tatsache wird mit dem Ampereschen Gesetz

\(\ \hspace{2cm} \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s} = \mu_0 \cdot I \)

ausgedrückt. Dabei ist das geschlossene Ringintegral entlang einer Kurve die den Leiter umschließt im Allgemeinen nicht null.

$ \hspace{2cm}$
Amperesches Gesetz


Mit dem Stokesschen Satz können wir das Amperesche Gesetz umschreiben zu

\(\ \hspace{2cm} \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s} = \int \nabla \times \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A}= \mu_0 \cdot I = \mu_0 \int \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A}\)

so gelangt man zum ersten Teil des 4. Maxwellschen Gesetzes

\(\ \hspace{2cm} \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \cdot \mathbf{j}\)

Diese Formulierung der 4. Maxwell Gleichung ist unvollständig, denn sie kann nicht erklären, was an einem Kondensator passiert.

Verschiebungsstrom


Da zwischen den Kondensatorplatten kein Strom fließt, entsteht dort nach dem Ampereschen Gesetz auch kein magnetisches Feld.
Experimentell wird dieses Feld aber sehr wohl beobachtet, deshalb muss das die 4. Maxwellgleichung um einen Term erweitert werden.
James Clerk Maxwell führte deshalb den Verschiebungsstrom ein. Fließt ein Strom $I$ an einem Stromkreis der einen Kondensator enthält, wird der Kondensator geladen.
Die Ladung $Q$ des Kondensators verändert sich und damit das elektrische Feld innerhalb der Kondensatorplatten. Das führt zu einem Verschiebungsstrom

\(\ \hspace{2cm} I =\frac{dQ}{dt}=\frac{d}{dt} (\varepsilon_0 \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{E})=(\varepsilon_0 \cdot \mathbf{A} \cdot \dot{\mathbf{E}})\)

Dabei gilt beim Plattenkondensator der Zusammenhang $Q= \varepsilon_0 \cdot A \cdot E$ (siehe Abb. oben).
Da für den Strom gilt $I=j \cdot A$ erhält man für die Verschiebungsstromdichte

\(\ \hspace{2cm} \mathbf{j}_V = \varepsilon_0 \cdot \frac{ \partial \mathbf{E}}{ \partial t} \)

Schließlich erhält man für das Erweiterte Amperesche Gesetz

\(\ \hspace{2cm} \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{s} = \mu_0 \cdot I = \mu_0 \int (\mathbf{j}+\mathbf{j}_V) \cdot d \mathbf{A}= \int \nabla \times \mathbf{B} \cdot d \mathbf{A}\)

daraus erhält man die differentielle Formulierung

\(\ \hspace{2cm} \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{j}+\mathbf{j}_V)= \mu_0 \mathbf{j}+ \mu_0 \varepsilon_0 \cdot \frac{ \partial \mathbf{E}}{ \partial t} \)

und mit $\mu_0 \varepsilon_0=\frac{1}{c^2}$ die bekannte Form

\(\ \hspace{2cm} \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}+ \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \mathbf{E}}{ \partial t} \)

Biot-Savart-Gesetz

\(\ \hspace{2cm} \mathbf{B(r)} = - \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot I \cdot \int \frac{ (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \times d \mathbf{R}}{ \mid \mathbf{r}-\mathbf{R} \mid ^3} \)

$\hspace{2cm}$
Biot Savartsches Gesetz


\[\mathrm{d}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\,I\,\mathrm{d}\boldsymbol{R} \times \frac{\boldsymbol r - \boldsymbol R}{|\boldsymbol r - \boldsymbol R|^3}\].

Die gesamte magnetische Flussdichte ergibt sich durch aufsummieren aller vorhandenen infinitesimalen Stücke, also durch Integrieren entlang der Kurve $C$. Das entstehende Wegintegral kann man unter Benutzung von

\[I\,\mathrm{d}\boldsymbol{R} = \boldsymbol{v}\,\mathrm{d}q = \boldsymbol{v} \rho\,\mathrm{d}V = \boldsymbol{J}\,\mathrm{d}V\]

in ein Volumenintegral umformen, wobei J die elektrische Stromdichte ist. Somit erhält man die integrale Form des biot-savartschen Gesetzes:

\[\boldsymbol B(\boldsymbol r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\boldsymbol J(\boldsymbol{R})\times\frac{\boldsymbol r-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol r-\boldsymbol{R}|^3}\;\mathrm{d}{V'}\].