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Im Artikel über Poincare Abbildungen haben wir gesehen, dass man die Frage, ob ein dynamisches System $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$ ein Grenzzyklus besitzt in die Frage ob die Poincaré Abbildung einen Fixpunkt besitzt transformieren können. Wir Fragen nun ob dieser Grenzzyklus stabil ist indem wir die Stabilität der Poincaré Abbildung mit dem Fixpunkt $\mathbf{x}^*$ untersuchen. Der Vektor $\mathbf{v}_0$ bezeichnet die infinitesimale Auslengung vom Fixpunkt, und der Punkt $\mathbf{x}^*+\mathbf{v}_0$ liege in der Hyperebene $\Sigma$. Nach der ersten Poincaré Abbildung gilt \begin{align} \mathbf{x}^*+\mathbf{v}_1=P(\mathbf{x}^*+\mathbf{v}_0)=P(\mathbf{x}^*)+[DP(\mathbf{x}^*)] \mathbf{v}_0 + O(\| \mathbf{v}_0 \|^2) \end{align} dabei ist $[DP(\mathbf{x}^*)]$ die $(n-1) \times (n-1)$ dimensionale linearisierte Poincaré Abbildung am Fixpunkt. Weil $\mathbf{x}^*=P(\mathbf{x}^*)$ gilt erhalten wir bei Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung die einfache Gleichung \begin{align} \mathbf{v}_1=[DP(\mathbf{x}^*)] \mathbf{v}_0 \end{align} Die Stabilität des Fixpunktes hängt also von den Eigenwerten der linearsieren Abbildung ab.

Der Grenzzyklus ist linear stabil, wenn für die Eigenwerte von $[DP(\mathbf{x}^*)]$ (auch Floquet Faktoren genannt) gilt $|\lambda_j|<1$ für $j=1,2,\dots, (n-1)$.