Fouriertransformation

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Fouriertransformation und Beugung

Wir definieren die Fouriertransformierte $\hat{f}(t)$ von $f(\omega)$ als

\( \hat{f}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(\omega) \cdot e^{-i\omega t} d\omega\)

dabei wird die Funktion $f(t)$ Spektrum genannt und vom Zeitbereich (Time Domain) in den Frequenzbereich (Frequency Domain) transformiert.

Es gilt für die Rücktransformation
\( {f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(t) \cdot e^{i\omega t} dt\)

Für die zweidimensionale Fouriertransformation wie sie bei der Kirchhoffschen Beugungstheorie benötigt wird gilt

\( \hat{f}(u,v)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \cdot e^{-i2\pi(ux+vy)}dxdy \)

bzw. für die Rücktransformation

\( {f}(x,y)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(u,v) \cdot e^{i2\pi(ux+vy)}dxdy \)

Vergleich mit dem Kirchhoffschen Beugungsintegral verdeutlicht den Zusammenhang mit der Fouriertransformation

Die Amplitudenverteileung bei der Frauenhofer Beugung ist proportional zur Fouriertransformierten
\( E(x',y',z_0)=\hat{f}(u,v) \cdot A(x',y',z_0) \)

\(I(x',y') \propto |E(x',y')|^2=|\hat{f}(x',y')|^2\)

da \(|A(x',y')|^2=1\)