Frequenzspektren und -dichte

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Atome auf einem eindimensionalen Gitter (siehe auch Artikel Phononen) können durch als in einem harmonischen Potential befindlich näherungsweise beschrieben werden. Die Atome können daher longitudinale Schwingungen um ihren Gleichgewichtszustand $x_s$, der ein Vielfaches der Atomabstände $x_s^{eq}=sa$ ist, ausführen.

Longitudinalschwingung.png

Die Position der Atome ist dann $x_s=x_s^{eq}+\Delta x_s$. Die Weselwirkungsenergie des Atoms $s$ mit seinen Nachbarn $s-1$ und $s+1$ ist proportional zum Quadrat des Abstandes $\frac{1}{2}K x^2$ und gehorcht damit dem Hook'schen Gesetz. \begin{align} E_{pot}=\frac{1}{2}K (x_{s-1}-x_{s})^2+\frac{1}{2}K (x_{s+1}-x_{s})^2 \end{align} Damit erhalten wir die Bewegungsgleichung \begin{align} m \ddot{x}_s&=- \nabla E_{pot}= - \nabla \left( \frac{1}{2}K (x_{s-1}-x_{s})^2+\frac{1}{2}K (x_{s+1}-x_{s})^2 \right)\\ m \ddot{x}_s&=- \left( -K (x_{s-1}-x_{s})-K (x_{s+1}-x_{s}) \right)\\ m \ddot{x}_s&= - K (2x_{s}-x_{s-1}- x_{s+1})\\ \end{align} Wir lösen die Gleichung mit dem Ansatz \begin{align} x_s=x_s^{eq} + \Delta x_s' e^{i2 \pi \nu t}e^{iksa} \hspace{1cm}\text{mit }s=1,2,3,\dots N \end{align} und erhalten \begin{align} -m4\pi^2 \nu^2\Delta x_s' e^{i2 \pi \nu t}e^{iksa}&=-K \left( 2x_s^{eq} + \Delta x_s' e^{i2 \pi \nu t}e^{iksa}-x_s^{eq} - \Delta x_s' e^{i2 \pi \nu t}e^{ik(s-1)a}-x_s^{eq} - \Delta x_s' e^{i2 \pi \nu t}e^{ik(s+1)a} \right)\\ m4\pi^2 \nu^2 e^{i2 \pi \nu t}e^{iksa}&=K e^{i2 \pi \nu t} \left( e^{iksa} - e^{ik(s-1)a}- e^{ik(s+1)a} \right) \\ m4\pi^2 \nu^2 e^{iksa}&=K e^{iksa} \left(1 +e^0- e^{-ika}- e^{ika} \right) \\ \nu^2&=\frac{K}{m4\pi^2 }\left(2- (e^{-ika}+ e^{ika}) \right) \\ \nu^2&=\frac{K}{m4\pi^2 }\left(2- 2cos(ka) \right) \\ \nu^2&=\frac{K}{m\pi^2 } sin^2(ka/2) \\ \end{align} Es ergibt sich somit die Dispersionsrelation $\nu(\lambda)$ bzw. $\nu(k)$ \begin{align} \nu&=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{K}{m}} \left| sin \left(\frac{ka}{2} \right)\right|=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{K}{m}} \left| sin \left(\frac{\pi a}{ \lambda} \right) \right| \\ \end{align} und die Kreisfrequenz \begin{align} \omega(\lambda) &=2\sqrt{\frac{K}{m}} \left| sin \left(\frac{\pi a}{ \lambda} \right) \right| \\ \end{align}

Dispersionskurvekette.png

Die Steigung von $\omega(k)$ entspricht der Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium. Sie ergibt sich zu \[v_g = \frac{ \mathrm{d} \omega}{ \mathrm{d}k}= \sqrt{ \frac{K a^2}{m}} \cos \left( \frac{k a}{2}\right) \] Man beobachtet, dass die Kreisfrequenz anfangs praktisch linear ist. Dies fließt im Debye Modell ein, bei dem $v_g=\omega(k_0)$ konstant angenommen wird.