Fresnelbeugung

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Bei der Fresnel Beugung werden nicht ebene Wellen, sondern Kugelwellen betrachtet. Studiere dazu die folgende Abbildung.

Fresnel Beugung


Die Lichtquelle $L$ sendet kugelförmige Lichtwellen aus und verursacht am Punkt $P$ eine Feldstärke $E(R)$. Für die Feldstärke im Abstand $R$ von $L$ gilt \begin{align} E(R)=\frac{E_0}{R} \cdot e^{i(\omega t-kR)} \end{align} Die Teilstrecken $S$ können nach dem Huygensschen Prinzip als Ausgangspunkt neuer Kugelwellen betrachtet werden. Wenn die Senkundärwellen
den Punkt $P$ erreichen, haben die Wellen eine Amplitude und Phase, die durch den Winkel $\theta$ ausgedrückt werden kann.
Die von $P$ ausgehenden Kreise (rote Strichlinien), begrenzen die sogenannten Fresnelschenzonen.
In jedem Punkt $Q_i$ einer Fresnelzone, gibt es einen Punkt $Q_{i+1}$ in der benachbarten Zone, dessen Entfernung von $P$ sich um $\lambda / 2$ unterscheidet. Wellen benachberter Quellen überlagern sich daher destruktiv, Wellen von $Q_i$ und $Q_k$ beispielsweise überlagern sich hingegen konstruktiv. Summation über die $m$ Fresnelzonen \begin{align} E_m=(-1)^{m+1} \frac{2 K_m \cdot E_a \lambda R}{i(R+r_0)} \cdot e^{i(\omega t-k(R+r_0))} \end{align}

mit $K_m \propto cos\theta$ und $r_0$ (siehe Abbildung) liefert die Gesamtfeldstärke in $P$

\( E(R)=\frac{E_0}{R+r_0} \cdot e^{i(\omega t-k(R+r_0))} \)

welche natürlich ohne Hindernis mit der Feldstärke die durch die kugelförmigen Wellen erzeugt wird übereinstimmen muss. Durch fresnelsche Beugung können allerdings folgende paradoxe Phänomene erklärt werden. Die Schrime verdecken dabei Quellen der Sekundärwellen.

Paradox 1 (oben) Ein Schrim, der alle Fresnelzonen außer die erste abdeckt, wird doppelt so viel Licht in $P$ gemessen wie ohne Schrim. Paradox 2 (unten) Im Punkt $P$ wird mit und ohne Schrim genau gleich viel Licht gemessen. $S_1$ und $S_2$ sind beliebige Punkte in $z=0$ und Ausgangspunkte von Sekundärwellen