Fresnell-Kirchhoff Beugung

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Erlaubt die allgemeine Beschreibung von Beugungsphänomenen durch das (Fresnel-)Kirchhoffsche Beugungsintegral

\( E= \iint C \cdot E_S \cdot e^{\left( -ikr \right) } dx dy \)

Dabei wird über alle Quellen $d\sigma=dxdy$ mit Feldsträke $E_S$ der Fläche $\sigma$ summiert, die den Weg $r$ zurückgelegt haben.
Wenn der Abstand der $g$ der Lichtquelle $L$ nicht groß genug ist, muss wie bei der Fresnel Beugung die Winkelabhängigkeit Feldstärke berücksichtigt werden.

\( C=i \cdot cos (\theta) / \lambda \)

Fresnel-Krichhoff Beugung


Das Integral kann oft nur numerisch gelöst werden. Es kann aber auch durch die Fresnel-Näherung gelöst werden.
Dabei gilt \( \hspace{1cm} x / z_0 <<1, y/z_0 <<1 \hspace{1cm} \) und damit \( \hspace{1cm} r \approx z_0 \hspace{1cm} \)
Die Phasen hängen aber empfindlich von $r$ ab, für diese gilt die Näherung nach Taylorreihenentwicklung

\( r=\sqrt{z_0^2 + (x-x')^2 + (y-y')^2} \approx z_0 \left( 1+ \frac{(x-x')^2}{2z_0} + \frac{(y-y')^2}{2z_0}+ \dots \right) \)

so erhält man für $cos(\theta) \approx 1$

\(\ E(x',y',z_0)=i \frac{e^{ikz_0}}{\lambda z_0} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} E_S(x,y) \cdot e^{\left( \frac{-ik}{2z_0} \left((x-x')^2+(y-y')^2 \right) \right)}dx dy \)

Wenn gilt \( \hspace{1cm} z_0 >>(x^2+y^2)/ \lambda \hspace{1cm} \) können die quadratischen Terme \( \hspace{1cm} x^2, y^2 \hspace{1cm} \) vernachlässigt werden.

\( r \approx \sqrt{z_0^2 - \frac{(xx')}{z_0^2} + \frac{(yy')}{z_0^2} + \frac{x'^2+y'^2}{2z_0}} \)

so erhält man nach herausziehen von \( \hspace{0.1cm} x'^2, y'^2 \hspace{0.1cm} \) die Frauenhofer-Beugung

\(\ E(x',y',z_0)=\underbrace{i \frac{e^{ikz_0}}{\lambda z_0} \cdot e^{i\pi(x'^2 + y'^2)/(\lambda z)}}_{A(x',y',z_0)} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} E_S(x,y) \cdot e^{\left[ \frac{ik}{z_0} \left( xx' + yy' \right)\right]} dx dy \)

Übergang von Fresnel zu Frauenhofer Beugung