Gauß'sche Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Wir leiten nun in mehreren Schritten aus der Binomialverteilung für Große N die Gauß'sche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auch Normalverteilung genannt wird, durch Variablentransformation her.

\begin{align} W(n_1)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp - \left[ \frac{(n_1-\tilde{n}_1)^2}{2 \sigma^2} \right] \end{align}

Durch Einsetzen von $n_1=\frac{N+m}{2}$ erhält man wegen

\begin{align} W \left( \frac{N+m}{2} \right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp - \left[ \frac{(\frac{N+m}{2}-Np)^2}{2 \sigma^2} \right] \end{align} mit \begin{align} \left( \frac{N+m}{2}-Np \right)^2= \frac{1}{4}(N+m-2Np)^2=\frac{1}{4} \left( m+(N(\underbrace{1-p}_{=q}-p)\right)^2 \end{align} die Gleichung \begin{align} W \left( \frac{N+m}{2} \right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp - \left[ \frac{(m-N(p-q))^2}{8 \sigma^2} \right]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp - \left[ \frac{(m- \langle m \rangle)^2}{8 \sigma^2} \right] \end{align} Wir haben bisher die kontinuierliche Variable $x$ auf die diskreten Werte $x=m \cdot l$ beschränkt. Es gilt \begin{align} n_1=\frac{N}{2} + \frac{m}{2} \end{align} Ein Schritt in $n_1$ ist also doppelt so groß wie ein Schritt in $m$, sodass $dx=n_{i+1}-n_i=2l$ ist. Für große $N$ unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeiten im Abstand $dx$ kaum \begin{align} |P(m+2)-P(m)|<<P(m) \end{align} für immer größer werdende $N$ kann die Binomialverteilung näherungsweise durch eine Gauß-Verteilung (auch Normalverteilung) beschrieben werden. Der Satz von Moivre-Laplace ist ein Spezialfall des Grenzwertsatzes und besagt, dass die Binomialverteilung für $N \rightarrow \infty$ gegen die Normalverteilung konvergiert. Wir sind also an der kontinuierlichen Funktion $P(x)$ interessiert, welche die Wahrscheinlichkeit angibt, ein Teilchen im Intervall $x + dx$ zu finden. Transformation der Variablen führt auf \begin{align} P(x)dx=P(m)\frac{dx}{2l} \end{align} $P(x)$ heißt Wahrscheinlichkeitsdichte und muss mit $dx$ multipliziert werden um eine Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Für $P(x)$ erhalten wir dann die kontinierliche Gauß-Verteilung \begin{align} P(x)dx=W(m)\frac{dx}{2l}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp - \left[ \frac{(x- \mu)^2}{2 \sigma^2} \right] dx \end{align} mit \begin{align} \mu &:=(p-q)Nl \dots \text{Erwartungswert}\\ \sigma &:=2 \sqrt{Nqp}l \dots \text{Standardabweichung} \end{align} Die Gauß'sche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie immer dann nützlich, wenn man mit großen Zahlen $N$ arbeitet.

Mittelwert

\begin{align} \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x \cdot P(x) \, dx=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x \cdot \exp - \left[ \frac{(x- \mu)^2}{2 \sigma^2} \right] dy \end{align} Um das Integral zu lösen machen wir die Variablentransformation $y=x-\mu$, dadurch verschieben wir das Integral, sodass es symmetrisch um $y=0$ verteilt ist. Ein Integral dieser Form heißt Standardnormalverteilung. \begin{align} \langle x \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (y + \mu) \cdot \exp - \left[ \frac{(y)^2}{2 \sigma^2} \right] dy\\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \left[\underbrace{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} y \cdot \exp - \left[ \frac{(y)^2}{2 \sigma^2} \right] dx}_{=0} + { \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mu \cdot \exp - \left[ \frac{(y)^2}{2 \sigma^2} \right] dx} \right] \end{align} Das erste Integral ergibt null, da die Funktion ungerade ist. Beim zweiten Integral können wir $\mu$ herausziehen, das Gaußsche Integral ergibt $\int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp - \left[ \frac{(y)^2}{2 \sigma^2} \right] dy=\sqrt{2 \pi} \sigma$. Der Mittelwert ist also \begin{align} \langle x \rangle = \mu \end{align} was offensichtlich ist, da es sich um eine symmetrische Verteilung handelt die um $\mu$ verteilt ist.

Varianz

Wir berechnen die Varianz $\langle (x - \mu)^2 \rangle$ der Normalverteilung durch die Transformation des Integrals in eine Standardnormalverteilung \begin{align} \langle (x - \mu)^2 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 \cdot \exp - \left[ \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right] dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int\limits_{-\infty}^{\infty} y^2 \cdot \exp - \left[ \frac{y^2}{2 \sigma^2} \right] dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \left[ \frac{\sqrt{\pi}}{2} (2 \sigma ^2)^{3/2} \right] \\ &= \sigma ^2 \\ \end{align}



Literatur:

  • Fundamentals of Statistical And Thermal Physics - F. Reif
  • Probability and Statistics - Morris H. DeGroot