Gaußsches Gesetz für elektrische Felder

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Wir betrachten die Fläche $A$ die das Volumen $V$ umschließt. In $V$ ist die Ladungsverteilung $Q$ enthalten, sie ist die Quelle des elektrischen Feldes $\mathbf{E}$.

Das Flächenelement $dA$ kann durch den Vektor $\vec{dA}$ charakterisiert werden, der normal auf $dA$ steht.
Gaußsches Gesetz


Der elektrische Fluss ist definiert als \(\ d \Phi = \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}\). den gesamten elektrischen Fluss erhält man durch Integration über die Fläche $A$ \(\hspace{1cm}\ \Phi = \int_A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}\). Mithilfe des Gaußschen Satzes kann man zeigen, dass für jede geschlossene Fläche $A$ gilt

\begin{align}\hspace{2cm}\ \Phi =\int_A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}=\int_{V(A)} \nabla \cdot \mathbf{E} \hspace{0.1cm} dV = \frac{Q}{\varepsilon_0}= \frac{1}{\varepsilon_0} \int_{V(A)} \rho \hspace{0.1cm} dV \end{align}

daraus ergibt sich die differentielle Form

\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \end{align}