Gaußsches Wellenpaket

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Ein Wellenpaket oder eine Wellengruppe entsteht durch Überlagerung von mehreren Wellen.

\( \psi (x,t) = \sum\limits_j C_j \cdot e^{i(k_j x - \omega_j t)} \)

Bei Überlagerung von unendlich vielen Wellen, also einem kontinuierlichen Spektrum an Wellenlängen erhält man ein Integral.

\( \psi (x,t) = \int c(k) \cdot e^{i(k x - \omega t)} dk\)

Die Amplitude ist abhängig von der Wellenzahl $c(k)$ und kann z.B. eine Gaußfunktion sein.

\(c(k)=c_0 \cdot e^{-\left( \frac{a^2}{4} \right)(k-k_0)^2}\)

In diesem Fall spricht man von einem Gaußschen Wellenpaket. Es hat den Vorteil, dass die Fouriertransformierte
einer Gaußfunktion wieder eine Gaußfunktion ist. Außerdem ist das Gaußsche Integral analytisch lösbar.

Beispiel: Bestimme die Normierungskonstante $c_0$. Benutze dabei, dass die Wahrscheinlichkeit das Teilchen irgendwo im Raum $x \in (-\infty, \infty)$ zu finden, eins sein muss.
Wir lösen das Integral für $t=0$

\( \psi (x,0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} c_0 \cdot e^{-\left( \frac{a^2}{4} \right)(k-k_0)^2} \cdot e^{ik x} dk=\)

dazu schreiben wir den Exponenten um

\( {-\left( \frac{a^2}{4} \right)(k-k_0)^2}+ikx =-\left( \frac{a^2}{4} \right) \left[k-k_0+\frac{2ix}{a^2} \right]^2 + ik_0x- \frac{x^2}{a^2} \)

und erhalten nach Integration des Gaußschen Integrals

\( \psi (x,0) = c_0 \cdot \frac{2\sqrt{\pi}}{a} \cdot e^{ik_0x} \cdot e^{-x^2/a^2}\)

Wir normieren $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|\psi (x,0)|^2dx=1$ (Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen irgenwo im Raum befindet ist $1$) und verwenden $|e^{i2k_0x}|=1$

\( \int\limits_{-\infty}^{\infty}|\psi (x,0)|^2dx=1 = c_0^2 \cdot \left( \frac{2\sqrt{\pi}}{a} \right)^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \cdot e^{-(2/a^2) \cdot x^2} dx\)

\(\Rightarrow c_0^2 \cdot \frac{\sqrt{2}^4\pi}{a^2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}a}{\sqrt{2}} =1 \)

Somit erhalten wir für die Normierungskonstante $c_0$

\(c_0 = \frac{\sqrt{a}}{(2\pi)^{3/4}} \)

Ein normiertes Gaußsches Wellenpaket lässt sich also Schreiben als

\( \psi (x,t) = \frac{\sqrt{a}}{(2\pi)^{3/4}} \cdot \int e^{-\left( \frac{a^2}{4} \right)(k-k_0)^2} \cdot e^{i(k x - \omega t)} dk\)