Glykolytischer Oszillator

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Glycoosci.png

Bei der Glykolyse wird Fruktose-$6$-Phosphat durch das Enzym Phosphofruktokinase zu Fructose-$1,6$-Bisphosphat umgewandelt, dabei wird ATP verbraucht (in ADP umgewandelt). Bei dieser Reaktion treten sich selbst erhaltende Oszillationen auf.

Die Gleichungen welche die Anzahl der Molekühle $ATP \rightarrow x$ und $F6P \rightarrow y$ beschreiben sind in dimensionsloser Form (Strogatz Seite 204) \begin{equation} \dot{x}=-x+ay+x^2y\\ \dot{y}=b-ay-x^2y \tag{1} \end{equation} mit Parametern $a,b>0$. Das Modell wird auch als Glykolytischer Oszillator bezeichet. Wir konstruieren nun eine Einschluss-Menge um das Poincaré-Bendixon-Theorem anzuwenden. Dazu führen wir ein wichtiges Konzept zur Analyse von nichtlinearen Systemen ein, jendes der Nullkline (von griech. klínein = neigen). Nullklinen sind ein Spezialfall der Isoklinen, der Linien gleicher Steigung, mit der Steigung Null. Wir erhalten sie indem wir $\dot{x}=0$ und $\dot{y}=0$ setzen, daraus erhalten wir \begin{equation} \dot{x}=0 \rightarrow y=x/(a+x^2) \text{ (blau)}\\ \dot{y}=0 \rightarrow x=b/(a+x^2) \text{ (rot)} \end{equation}

Abbildung der Nullklinen (blau,rot) und des Vektorfeldes $f(\mathbf{x})$

Auf der roten Nullkline müssen die Vektoren horizontal ausgerichtet sein, weil dort laut Definition $\dot{x}=0$ gilt. Ebenso müssen Vektoren auf der blauen Nullkline vertikal ausgerichtet sein, weil $\dot{y}=0$ ist. Man erhält die Vorzeichen für die durch die Nullklinen getrennten Gebiete durch einsetzen in das System (1). Es ergibt sich z.B. am Punkt $(x>0, y=0) \Rightarrow (\dot{x}=-x<0,\dot{y}=b>0)$. An den Nullklinen wechselt das Vorzeichen von $\dot{x}$ bzw. $\dot{y}$, so lassen sich einfach die Ausrichtung der Vektoren in den anderen Gebieten bestimmen.

Wir behaupten nun, dass die folgende von der grünen Strichlinie umschlossene Teilmenge eine Einschluss-Menge ist. Dazu zeigen wir, dass alle Vektoren in die Einschluss-Menge zeigen. Auf der horizontalen und vertikalen Begrenzung ist das leicht einzusehen, aber gilt das auch für die Diagonale? Für sehr große $x$-Werte gilt für das System nährungsweise \begin{equation} \dot{x} \approx x^2y\\ \dot{y} \approx x^2y \tag{2} \end{equation} sodass $\dot{y}/\dot{x}=dy/dx \approx -1$ ist. Wird die Steigung für kleinere $x$ noch kleiner als $-1$? Anders augedrückt, ist $(-\dot{y})-\dot{x}>0$ ? Wir berechnen die Differenz \begin{equation} \dot{x} -(- \dot{y} )= -x+ay+x^2y+(b-ay-x^2y)=b-x \tag{3} \end{equation} Weil $(-\dot{y})-\dot{x}>0$ gleich $\dot{x} -(-\dot{y})<0$ entspricht, ist also (3) für $x>b$ erfüllt, was auf der Diagonalen erfüllt ist. Es handelt sich damit bei der durch die grüne Strichlinie umschlossenen Teilmenge um eine Einschlussmenge.

Einschluss-Menge (trapping region) grün umrandet. Alle Vektoren zeigen in die Einschluss-Menge

Beachte, beim Schnittpunkt der Nullklinen existiert ein Fixpunkt, die Bedingungen des Poincaré-Bendixon-Theorems sind daher nicht erfüllt. Aber wenn der Fixpunkt ein instabiler Repeller (engl. repell=abstoßen) ist, können wir die Existenz eines Grenzzyklus trotzdem beweisen. Dazu betrachten wir die unmittelbare Umgebung des Fixpunktes und zeigen, dass alle Vektoren in die Einschluss-Menge zeigen. Dies ist gerade dann der Fall, wenn der Fixpunkt ein Repeller ist.

Abbildung der Einschlussmenge. Für welche Parameter ist der Fixpunkt ein Repeller und zeigen damit alle Vektoren in die Einschluss-Menge?

Es bleibt also zu klären für welche Parameter $a,b$ es sich beim Fixpunkt um einen Repeller handelt. Dazu betrachten wir die Jakobimatrix \begin{align} \mathbf{A}=\begin{pmatrix} -1+2xy & a+x^2\\ -2xy & -(a+x^2) \end{pmatrix} \end{align} Addieren der Systemgleichungen (1) für $\dot{x}=\dot{y}=0$ liefert sofort den Fixpunkt $x^*=b$ einsetzen dieses Ergebnisses in eine Systemgleichung liefert den Fixpunkt $y^*=b/(a+b^2)$. Man bekommt dieses Ergebnis auch, wenn man den Schnittpunkt der Nullklinen berechnet. Die Determinatne der am Fixpunkt $(x^*,y^*)=(b,b/(a+b^2))$ ausgewerteten Jakobimatrix ist \begin{align} |\mathbf{A}|=det\begin{pmatrix} -1+2b^2/(a+b^2) & a+b^2\\ -2b^2/(a+b^2) & -(a+b^2) \end{pmatrix}= \Delta = a+b^2>0 \end{align} und die Spur ist \begin{align} \tau = -\frac{b^4+(2a-1)b^2+(a+a^2)}{a+b^2} \end{align} Wegen der charakteristische Gleichung $\lambda_{1,2}=\lambda^2+\tau \lambda + \Delta$ mit der Lösung \begin{align} \lambda_{1,2}=\frac{-\tau \pm \sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2} \end{align} Der Fixpunkt ist also instabil für $\tau>0$ und stabil für $\tau<0$. Der Übergang geschieht also genau bei $\tau=0$, lösen dieser quadratischen Gleichung liefert. \begin{align} b^2=\frac{1-2a \pm \sqrt{1-8a}}{2} \end{align} Diese Gleichung definiert eine Kurve im Parameterraum. Damit kann die Stabilität für jeden Punkt im Parameterraum bestimmt werden.

Paramterraum (auch (a,b)-Raum genannt) zeigt für welche Mengen der Fixpunkt stabil bzw. instabil (->Grenzzyklen) ist.

Für $\tau >0$ ist der Fixpunkt also garantiert instabil und es existiert ein Grenzzyklus. Die Folgende Abbildung zeigt ein Phasenportrait mit Parametern $a=0.08$ und $b=0.6$

GlycoOscillator.png