Grenzzyklen

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Grenzzyklen mit unterschiedlicher Stabilität. a) Stabiler Grenzzyklus b) instabiler Grenzzyklus c) und d) semistabile Grenzzyklen
Harmzykl.png
Ein Grenzzyklus (engl. Limit Cycle) auch Orbit genannt ist eine isolierte geschlossene Trajektorie. Isoliert heißt in diesem Zusammenhang, dass die Trajektorien in der Umgebung des Orbits nicht geschlossen sind. Sie nähern sich dem Orbit in Spiralform oder entfernen sich spiralförmig von ihm.


Stabile Grenzzyklen modellieren Systeme die selbsterhaltende Oszillationen ausführen die auch ohne äußere Kräfte fortbestehen und beschreiben unzählige vorgänge in der Natur (chemische Oszillationen, Hormonausschüttung im Körper, Herzschlag, ...). Auch lineare Systeme besitzen Grenzzyklen, allerdings sind diese nicht isoliert. Wenn $\mathbf{x}(t)$ eine Lösung ist, dann ist auch $c \mathbf{x}(t)$ eine Lösung. Die Abmplitude des klassischen harmonischen Oszillators z.B. wird eindeutig von den Anfangsbediungungen bestimmt.


Contents

Ausschluss der Existenz von Grenzzyklen

Konservative Systeme

Wenn ein dynamisches System $\dot{\mathbf{x}}=f(\mathbf{x})$ konservativ ist, d.h. $f(\mathbf{x})$ kann als Gradient eines Potentials (Exakte Differentialgleichungen) geschrieben werden 
\begin{equation}
\dot{\mathbf{x}}=- \nabla V(\mathbf{x})
\end{equation}

dann existiert für dieses System kein Grenzzyklus.

Beweis
Angenommen das System ist Konservativ, dann ist die verrichtete Arbeit entlang einer geschlossenen Kurve $C$ dem Grenzzyklus null, $\Delta V =0$. Das Integral \begin{align} \Delta V &= \int\limits_0^T \frac{dV}{dt} dt\\ &= \int\limits_0^T (\nabla V \cdot \dot{\mathbf{x}}) dt\\ &=- \int\limits_0^T (\dot{\mathbf{x}})^2 dt\\ &<0 \hspace{1cm}\text{für } \dot{\mathbf{x}} \not =0 \end{align} müsste daher ebenfalls null sein. Das führt auf einen Widerspruch, es kann also offensichtlich keinen solchen Grenzzyklus geben.$\square$ Im Fall $\dot{\mathbf{x}}=0$ würde es sich um einen Fixpunkt und nicht um einen Grenzzyklus handeln.

Liapunov Funktion

Manchmal lässt sich eine Funktion ähnlich der Gesamtenergie eines Systems $E=\frac{1}{2}(\dot{x}^2 + x^2)$ finden. Wir nennen eine solche Funktion Liapunov Funktion.

Sei $\mathbf{\dot x}=f(\mathbf{x})$ ein kontinuierlich differenzierbares dynamisches System mit dem Fixpunkt $\mathbf{x}^*$. 
Angenommen wir finden eine kontinuierlich differenzierbare Liapunov Funktion $V(x)$ mit den folgenden Eigenschaften 1. $V$ ist positiv definit: $V(\mathbf{x})>0$ für alle $\mathbf{x} \not = \mathbf{x}^*$ und $V(\mathbf{x}^*)=0$. 2. Die trajektorien Zeigen "abwärts" zum Fixpunkt $\mathbf{x}^*$: $\dot{V} < 0$ for all $\mathbf{x} \not = \mathbf{x}^*$. dann ist der Fixpunkt $\mathbf{x}^*$ global asysmptotisch stabil.
Liapunov Funktion

Leider gibt es keine allgemein anwendbare Methode um eine Liapunov Funktion zu konstruieren. Manchmal funktioniert ein Ansatz aus der Summe von Quadraten wie im folgenden Beispiel.

Beispiel
Zeige das das System \begin{align} \dot x =-x+4y\\ \dot y =-x-y^3\\ \end{align} keinen Grenzzyklus besitzt. Wir machen den Ansatz $V(x,y)=x^2+ay^2$, dann erhalten wir für die Ableitung \begin{align} \dot{V}&=2x\dot{x}+2ay\dot{y}\\ &=2x(-x+4y)+2ay(-x-y^3) \end{align} wenn wir den Parameter $a=4$ wählen kürzen sich die Mischterme und wir erhalten \begin{align} \dot{V}&=-2x^2-8y^4 \end{align} Man erkennt sofort, dass die Bedingungen $1.$ und $2.$ für alle $x,y \not = 0$ erfüllt sind. Daher ist $V(x)$ eine Liapunov Funktion und es existieren für dieses System keine Grenzzyklen.

Bendixson-Dulac-Kriterium

Das Kriterium wird gelegentlich nur nach einem der Begründer benannt, wobei das Kriterium erst vom Schweden Ivar Bendixson (1901) aufgestellt wurde. Erst der Franzose Henri Dulac benutzte den Green'schen Satz (1933). Das Bendixson-Dulac-Kriterium besagt:

Sei $\mathbf{\dot x}=f(\mathbf{x})$ ein kontinuierlich differenzierbares dynamisches System auf der Teilmenge $R \in \mathbb{R}^2$. Wenn die Divergenz des Vektorfeldes 
$\nabla (g f(\mathbf{x}))$ mit der reellen Funktion $g$, auf $R$ nirgends null (überall $\not =0$) ist, dann ist die Existenz eines Grenzzyklus in $R$
ausgeschlossen.



Beweis

Angenommen es gäbe trotz der Annahme, dass $(g f(\mathbf{x}))\not =0$ auf $R$ einen Grenzzyklus $C$ in $R$. Die Menge $A$ sei Teilmenge von $R$ also $A \in R$ und von $C$ umschlossen. Der Green'sche Satz zeigt

\begin{align} \oint\limits_C {g \, f(\mathbf{x})} \cdot \mathbf{n} \, d \ell = \iint\limits_A \nabla \, g\,{f(\mathbf{x})} \, d\mathbf{A} \end{align} Der rechte Term muss $\not =0$ sein, weil das Vorzeichen von $ \nabla \, g\,{f(\mathbf{x})}$ immer das selbe ist (wäre dies nicht der Fall, dann müsste $ \nabla \, g\,{f(\mathbf{x})}$ gemäß dem Mittelwertsatz, beim Wechsel vom Positiven ins Negative entgegen der Voraussetzung null annehmen). Der linke Term muss ja, weil die Trajektorie an einem Punkt $\mathbf{x}$ immer tangential zum Vektorfeld $f(\mathbf{x})$ steht und daher das Produkt zwischen der Normalen $\mathbf{n}$ und ${f(\mathbf{x})}$ immer null ist, null sein. Das führt offenbar auf einen Widerspruch, daher kann es keine solche geschlossene Trajektorie $C$ geben.$\square$

Wie bei der Liapunov Funktion gibt es auch hier keinen Algorithmus um $g$ zu finden. Funktionen die gelegentlich funktionieren sind $g=1, 1/(x^ay^b), e^{ax}, e^{ay}$

Abbildung zum Green'schen Satz in zwei Dimensionen $\mathbf{n}=(dy,-dx)$

Beispiel
\begin{align} \dot x &= x^3 + y^2\\ \dot y &= 3x + y^3 + 2y \end{align} Für $g=1$ erhalten wir \begin{align} \nabla \, f(\mathbf{x}) &= 3x^2+3y^2+2 \not = 0 \hspace{2cm} \text{für alle } x,y \end{align} es kann daher in $R$ keine Grenzzyklen geben.

Beweis der Existenz von Grenzzyklen

Poincaré-Bendixson Theorem

Das Poincaré-Bendixson Theorem erlaubt es, auf die Existenz eines Grenzzyklus zu schließen.

Sei $\dot{\mathbf{x}}=f(\mathbf{x})$ ein kontinuierlich differenzierbares dynamisches System auf einer offenen Teilmenge $R \in \mathbb R^2$, wobei $R$ keine Fixpunkte 
aber eine Trajektorie $C$ enthält, die "eingeschlossen" ist, d.h. $C$ startet in $R$ und bleibt in $R$ für alle Zeiten,
dann ist $C$ entweder ein Grenzzyklus oder nähert sich einem Grenzzyklus für $t \rightarrow \infty$ in spiralform.
PoincareBendixon.png

Die praktische Anwendung des Theorems ist nur manchmal möglich und wird dann meist durch eine Einschluss-Menge (engl. trapping region) durchgeführt. Alle Vektoren des Vektorfeldes an der Grenze einer solchen Einschluss-Menge $R$ zeigen in die Richtung der Einschluss-Menge.

Tapping.png


Beispiel
Grenzzyklen kommen bei bestimmten Parametern am Anfang des biochemischen Prozesses der Glykolyse während der Investitionsphase vor (siehe Glykolytischer Oszillator)

Grenzzyklen in der Ebene schließen Chaos aus

Das Poincaré-Bendixon-Theorem ist ausschließlich im $\mathbb{R}^2$ gültig. Gelingt es die Existenz eines stabilen Grenzzyklus in der Ebene zu beweisen, ist die komplexität des "Verhaltens" der Lösung also beschränkt. Weil sich die Lösungen immer mehr der geschlossenen Trajektorie nähern ist Chaos in der Phasenebene ausgeschlossen. In höheren Dimensionen $n \leq 3$ ist das Poincaré-Bendixon-Theorem nicht mehr gültig und es können Seltsame Attraktoren entstehen. Lösungen werden dann von diesem Seltsamen Attraktor angezogen erreichen aber nie einen Fixpunkt oder Grenzzyklus. Die Lösungen verhalten sich dann für unterschiedliche Anfangsbedingungen komplett anders und das in einer unvorhersagbaren Weise. Man nennt dieses Verhalten chaotisch.






Videovorlesung:

  • MIT: Arthur Mattuck - Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria [1]


Weiterführende Literatur:

  • Steven H. Strogatz - Nonlinear Dynamics and Chaos
  • D. W. Jordan $\&$ P. Smith - Nonlinear Ordinary Differential Equations