Harmonischer Oszillator

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Der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik beschreibt das Verhalten eines Teilchens in einem harmonischen Potential \[V(x)=\frac 1 2 k x^2 = \frac 1 2 m \omega^2 x^2 ,\] was klassisch einer Rückstellkraft \(\mathbf{F}=-k \mathbf{x}=-\nabla E_{pot}\) proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage entspricht.

Orts-Wellenfunktionen eines Teilchens im harmonischen Potential in den Zuständen n=0…7

Zu den Orts-Wellenfunktionen gehörende Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Kreisfrequenz muss bei harmonischer Schwingung des Oszillators $\omega=\sqrt{k/m} \Rightarrow k=\omega^2 \cdot m$ sein. Die Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators ist dann

$\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{1}{2}kx^2 \right) \psi= E\psi$

$\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{1}{2}\omega^2 m x^2 \right) \psi = E\psi$

Um auf die Form einer hermiteschen Differentialgleichung zu kommen, machen wir eine Variablentransformation

$\xi=x \cdot \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ und $C=\frac{2E}{\hbar \omega}$ liefert

$\frac{d^2 \psi}{d\xi^2} + (C-\xi^2) \psi= 0$

mit dem allgemeinen Lösungsansatz $\psi(\xi)=H(\xi) \cdot e^{-\xi^2/2}$ erhalten wir durch Einsetzen die Hermitesches Differentialgleichung

$\frac{d^2 H}{d\xi^2} +2\xi \frac{d H}{d\xi}+ (C-1) H= 0$



deren Lösungen die Hermite'schen Polynome $H_v(\xi)$ sind.


$H_v(\xi)=(-1)^v \cdot e^{\xi^2} \cdot \frac{d^v}{d\xi^v} (e^{-\xi^2})$




$\psi(x)=\tilde{H}(x) e^{-(mE/\hbar^2)x^2/2}$



Der Harmonische Oscillator kann die Eigenwerte

$E(v)=\left(v+\frac{1}{2}\right) \cdot \hbar \omega$ mit $v=0,1,2,\dots$



Der tiefst mögliche Energiezustand ist
$E(v)=\frac{1}{2} \cdot \hbar \omega$