Herleitung

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Die Wellengleichungen können aus dem Induktionsgesetz und dem erweiterten Amperschen Gesetz für das Ladungs- und Stromfreie Vakuum hergeleitet werden.

\(\ \hspace{2cm} \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \)

\(\ \hspace{2cm} \nabla \times \mathbf{B} = \varepsilon_0 \cdot \mu_0 \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)

Wende nun auf das Indukionsgesetz den $\mathbf{rot}$ Operator an

\(\ \hspace{2cm} \nabla \times \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})}{\partial t} \)

und setze für $\nabla \times \mathbf{B}$ das erw. Amperesche Gesetz ein. Die Zeitableitung kann herausgehoben werden, da $\nabla$ nicht zeitabhängig ist.

\(\ \hspace{2cm} \nabla \times \nabla \times \mathbf{E} =- \varepsilon_0 \cdot \mu_0 \cdot \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \)

Benutze die Beziehung

\(\ \hspace{2cm} \nabla \times \nabla \times \mathbf{E} = \nabla ( \nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \cdot (\nabla \mathbf{E})\)

im Ladungsfreien Raum gilt

\(\ \hspace{2cm} \nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\varepsilon_0}=0\)

und es bleibt \(\ - \nabla \cdot (\nabla \mathbf{E}) \) übrig, sodass wir schließlich die Wellengleichung erhalten

\(\hspace{2cm} \Delta \mathbf{E}=\varepsilon_0 \cdot \mu_0 \cdot \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)

auf gleiche Weise lässt sich die Gleichung für das $\mathbf{B}$-Feld herleiten, wenn man den $\mathbf{rot}$ Operator erst auf das erw. Amperesche Gesetz andwendet und dann das Induktionsgesetz einsetzt.