Herleitung der Intensität bei Interferenz

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Da $I \propto E^2$ ist, erhält man bei der Addition zweier elektromagnetischer Wellen $\mathbf{E_1(r,}t)cos(wt- \varphi_1)$ und $\mathbf{E_2(r,}t)cos(wt- \varphi_2)$ mit Phasen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ die Intensität

\(\hspace{2cm} I \propto \mathbf{E}_1^2 cos^2(wt+\varphi_1)+\mathbf{E}_2^2 cos^2(wt+\varphi_2)+2 \mathbf{E}_1 \mathbf{E}_2 cos(wt+\varphi_1) cos(wt+\varphi_2) \)

Es gilt für Produkte von Winkelfunktionen $cos(x) \cdot cos(y) = (cos(x+y)+cos(x-y))/2$. Berechnen wir das zeitliche Mittel über $I$ erhalten wir damit

\(\hspace{2cm} \langle I(t) \rangle = \mathbf{E}_1^2 \langle cos^2(wt+\varphi_1) \rangle +\mathbf{E}_2^2 \langle cos^2(wt+\varphi_2) \rangle + \mathbf{E}_1 \mathbf{E}_2 \langle cos(2wt+\varphi_1+\varphi_2) + cos( \varphi_1-\varphi_2) \rangle \)

Es gilt für die Mittlewerte $\langle cos^2(wt+\varphi_1) \rangle=1/2$ und $\langle cos(2wt+\varphi_1+\varphi_2) \rangle=0$. So erhalten wir durch einsetzen von $\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2$

\(\hspace{2cm} \langle I \rangle \propto \frac{1}{2} ( \mathbf{E}_1^2 +\mathbf{E}_2^2) +\mathbf{E}_1 \mathbf{E}_2 cos(\Delta \varphi) \)