Herleitung der Intensität bei Vielstrahlinterfernez

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Um die Intensität am Punkt P zu berechnen müssen wir die Abstände $r_n$ zwischen Quellen $Q_n$ und Punkt P kennen.

\(\ \hspace{0.5cm} r_n = r+\left(\frac{(N+1)}{2}-n \right) \delta \cdot sin(\alpha) \hspace{0.5cm} \text{für } \hspace{0.5cm} n=1,2,3,...,N \)

Wenn die Amplituden $a$ aller Wellen gleich sind, erhalten wir für die Gesamtfeldsträke $\mathbf{E}$ in P durch Superposition

\(\ \hspace{0.5cm} \mathbf{E} = \sum\limits_{n=1}^N a \cdot e^{i(k \cdot r_n - \omega \cdot t)} \)

Wenn wir noch $\delta \cdot sin(\alpha) = \Delta \varphi / k$ in $r_n$ einsetzen, erhalten wir. \(\ \hspace{0.5cm} r_n = r + \left(\frac{(N+1)}{2}-n \right) \Delta \varphi / k \hspace{0.5cm} \) und für die Gesamtfeldsträke

\(\ \hspace{0.5cm} \mathbf{E} = a \cdot e^{i(\frac{(N+1)}{2}) \Delta \varphi} \cdot \sum\limits_{n=1}^N e^{-i n \Delta \varphi} \cdot e^{i(k \cdot r - \omega \cdot t)} \)

Lösen der geometrischen Reihe $\sum\limits_{k=1}^{n}q^k=q \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}$ liefert

\(\ \hspace{0.5cm} \sum\limits_{n=1}^N e^{-i n \Delta \varphi}= e^{-i \Delta \varphi} \cdot \frac{e^{-i N \Delta \varphi}-1}{e^{-i \Delta \varphi}-1} =e^{-i \frac{N-1}{2} \Delta \varphi} \cdot \frac{e^{i \frac{N}{2} \Delta \varphi}-e^{-i \frac{N}{2} \Delta \varphi}}{e^{i \frac{\Delta \varphi}{2} }-e^{-i \frac{\Delta \varphi}{2} }}=e^{-i \frac{N-1}{2} \Delta \varphi} \cdot \frac{sin \left(\frac{N}{2} \Delta \varphi \right)}{sin \left(\frac{1}{2} \Delta \varphi \right)} \)

Einsetzen dieses Ergebnisses ergibt

\(\ \hspace{0.5cm} \mathbf{E} = \underbrace{a \cdot e^{i\Delta \varphi} \cdot \frac{sin \left(\frac{N}{2} \Delta \varphi \right)}{sin \left(\frac{1}{2} \Delta \varphi \right)}}_{A(\alpha)} \cdot e^{i(k \cdot r - \omega \cdot t)}\)