Intermittenz

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Periodische Fenster

Im einem speziellen Parameterbereich $3.8284... \leq r \leq 3.8415...$ der Logistischen Gleichung löst sich das Chaos auf und ein Periodisches Fenster entsteht. Wie kann ein solches Fenster entstehen und warum hat es die Periode 3? Um dies zu beantworten gehen wir gleich vor, wie bei der Untersuchung der ersten Transkritischen Bifurkation der Logistischen Gleichung. Jeder Punkt $p$ einer Periode 3 wiederholt sich nach drei Abbildungen, es muss also gelten $p=f^3(p)$. \begin{align} f^1(x_n)&=rx(1-x)\\ f^2(x_n)&=rrx(1-x)(1-rx(1-x))=r^2 x - r^2 rx x - r^2 x^2 + 2 r^2 rx x^2 - r^2 rx x^3\\ f^3(x_n)&=rr(rx(1-x))(1-(rx(1-x)))(1-r(rx(1-x))(1-(rx(1-x))))=r^3 x - r^3 x^2 - r^4 x^2 - r^5 x^2 + 2 r^4 x^3 + 2 r^5 x^3 + 2 r^6 x^3 - r^4 x^4 - r^5 x^4 - 6 r^6 x^4 - r^7 x^4 + 6 r^6 x^5 + 4 r^7 x^5 - 2 r^6 x^6 - 6 r^7 x^6 + 4 r^7 x^7 - r^7 x^8\\ \vdots \end{align} Die Gleichung $f^3(x)=x$ führt auf ein Polynom 8. Grades, das eine explizite Lösung nach den Fixpunkten nicht erlaubt. Stattdessen betrachten wir die Schnittpunkte der Graphen.

Logistf3.png
Manipulate[Plot[{r^2 (r*x (1 - x)) (1 - (r*x (1 - x))) (1 - r (r*x (1 - x)) (1 - (r*x (1 - x)))), x}, {x, 0, 5}, 
AspectRatio -> Automatic, 
BaseStyle -> {FontWeight -> "Bold", FontSize -> 20}, 
PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}}], {r, 0, 4}]

Berechnet man wie im Artikel Transkritische Bifurkation die Eigenwerte $\lambda$ erhält man für den kritischen Wert $r$ bei dem die Periode 3 ensteht $r=1+\sqrt{8}=3.8284$. An diesem Parameterwert $r$ ist $f^3(x)$ an machnen Punkten tangential zum Median, man nennt die Bifurkation daher tangenten Bifurkation. Benutze den Mathematica Code um die tangenten Bifurkation zu veranschaulichen.

Tangbifurk.png

Intermittenz

Für $r=3.8282$ zeigt die Logistische Gleichung ein interessantes Verhalten. Es schaut aus als würde eine Periode 3 existieren, aber die scheinbare Periode ist von Chaos "intermittiert" (von lat. intermittere: unterbrechen). Man nennt solches Verhalten daher Intermittenz.

Intermittency2.jpg

Wie kommt Intermittenz zustande? Der Grund liegt darin, dass man sich in der Nähe $r \approx r_c$ einer tangenten Bifurkation befindet. Die Spinnwebe schaut dabei so aus

Intermitt.png

Während der Orbit durch den engen Kanal in der näher einer Sattelpunkt Bifurkation geht, gilt $f^3(x)\approx x$ daher schaut der Orbit aus als hätte er Periode 3. Verlässt der Orbit den Kanal ensteht wieder Chaos, danach erreicht er evtl. wieder den Kanal usw. Dieses Verhalten tritt oft auf wenn eine Sattelpunkt Bifurkation vorhanden ist, wird also häufig beobachtet. Wird die differenz $|r-r_c|$ größer wird der Bereich des Periodischen verhaltens kürzer und kürzer und mündet schließlich im Chaos (intermittency rout to chaos).