Kastenpotential

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(Kastenpotential mit endlicher Tiefe)
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== Kastenpotential mit endlicher Tiefe ==
 
== Kastenpotential mit endlicher Tiefe ==
  
 
Wir betrachten ein Teilchen in einem eindimensionalen Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $-V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.<br\> <br\>  
 
Wir betrachten ein Teilchen in einem eindimensionalen Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $-V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.<br\> <br\>  
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V(x)=\begin{cases} -V_0 &\mbox{für } -a/2 \leq x \leq a/2 \\
 
V(x)=\begin{cases} -V_0 &\mbox{für } -a/2 \leq x \leq a/2 \\
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==Wellenfunktion in den Bereichen I, II, III==
  
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===Bereich I===
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Im Bereich $I$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=0$
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\frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x)
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wenn wir $\kappa$ definieren als
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\kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar }
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Die allgemeine Lösung $\psi _I(x,t)$ in diesem Bereich ist dann
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\psi _I(x,t)=A e^{i\kappa t} + B e^{-i\kappa t}
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Da $e^{-i\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$
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\psi _I(x,t)=A e^{i\kappa t}
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Allgemein gilt für den Ansatz bei einem Rechteckpotential<br\>
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===Bereich II===
*Fall 1: $E>V \Rightarrow E-V=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ mit $k>0$ wir machen den Ansatz<br\>
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Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$
:$\varphi(x)=Ae^{ikx}+A'e^{-ikx}$
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*Fall 2: $E<V \Rightarrow V-E=\frac{\hbar^2 \rho^2}{2m}$ mit $k>0$ wir machen den Ansatz<br\>
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\left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \ell^2 \phi(x)
:$\varphi(x)=Be^{\rho x}+B'e^{-\rho x}$<br\><br\>
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Wir untersuchen den Fall mit $-V_0<E<0$ und machen für die Bereiche I, II, III den Ansatz<br\><br\>
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wenn wir $\ell$ definieren als
{|
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|$\varphi(x)_I=B_1e^{\rho x}+B_1'e^{-\rho x}$
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\ell = \frac{\sqrt{-2m(E+V_0)}}{\hbar }  
|-
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|$\varphi(x)_{II}=A_2e^{ikx}+A_2'e^{-ikx}$
+
|-
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|$\varphi(x)_{III}=B_3e^{\rho x}+B_3'e^{-\rho x}$
+
|}
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Da $\hbar^2 k^2=p^2$ und $E=\frac{p^2}{2m}$ gilt<br\><br\>
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$\rho=\sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}$
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$k=\sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}}$
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Die Wellenfunktion ist im Bereich I null $B_1'=0$ weil die Welle nicht die Energie besitzt aus dem Topf zu kommen.<br\>
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Wegen Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Ableitung bei $-a/2$ gilt <br\>
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$1:B_1e^{-\rho a/2}=A_2e^{-ika/2}+A_2'e^{ika/2}$<br\>
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$2:B_1\rho e^{-\rho a/2}=ik(A_2e^{-ika/2}-A_2'e^{ika/2})$<br\>
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$1+2:B_1(1+\frac{\rho}{ik})e^{-\rho a/2}=2A_2 e^{-ika/2}\Rightarrow A_2=B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\>
+
$1-2:B_1(1-\frac{\rho}{ik})e^{-\rho a/2}=2A_2' e^{-ika/2}\Rightarrow A_2'=B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\><br\>
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Dasselbe gilt bei $a/2$, wobei $B_3=0$ wiederum null ist, da Bereich III beschränkt ist.<br\>
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Die Energy ist für gebundene Zustände negativ $E < 0$ und $E$ muss größer $-V_0$ sein $-V_0 < E$
$3:B_3'e^{-\rho a/2}=A_2e^{ika/2}+A_2'e^{-ika/2}$<br\>
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Die allgemeine Lösung $\psi_{II}(x,t)$ für den Bereich $II$ ist  
$4:-B_3'\rho e^{-\rho a/2}=ik(A_2e^{ika/2}-A_2'e^{-ika/2})$<br\><br\>
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\begin{align}
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\psi _{II}(x,t)=C e^{i\ell t} + D e^{-i\ell t}
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aber wir können auch das [[Inner Product Space#Continuous Inner Product|Fundamentalsystem]] $\{ \sin(lt) , \cos(lt) \}$ wählen
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\psi _{II}(x,t)=C \sin(lt) + D \cos(lt)
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Diese Wahl erspart uns später einige Rechenschritte
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===Bereich III===
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Im Bereich $III$ ist das Potential wieder null $V(x)=0$ und es gilt die selbe Schrödinger Gleichung wie in Bereich $I$
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\frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x)
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mit
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\kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar }
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und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{i\kappa t}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb
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\psi _{III}(x,t)=F e^{-i\kappa t}
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Und wir können $A_2,A_2'$ von $1,2$ einsetzen.<br\>
 
$3:B_3'e^{-\rho x}=B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{ikx}-B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{-ikx}$<br\>
 
$4:-B_3'\rho e^{-\rho x}=ik(B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{ikx}+B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{-ikx})$<br\>
 
$3+4:B_3'(1-\frac{\rho}{ik})e^{-\rho (a/2)}=2A_2 e^{ik(a/2)}\Rightarrow A_2=B_3'(ik-\rho)/2ik \cdot e^{-(\rho+ik)a/2}$<br\>
 
$3-4:B_3'(1+\frac{\rho}{ik})e^{-\rho (a/2)}=2A_2' e^{-ik(a/2)}\Rightarrow A_2'=-B_3'(ik+\rho)/2ik \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\><br\>
 
  
  
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== Bestimmung der Konstanten ==

Revision as of 00:00, 3 August 2013

Kasten.png

Contents

Kastenpotential mit endlicher Tiefe

Wir betrachten ein Teilchen in einem eindimensionalen Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $-V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.


\begin{align} V(x)=\begin{cases} -V_0 &\mbox{für } -a/2 \leq x \leq a/2 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} \end{align}

Wellenfunktion in den Bereichen I, II, III

Bereich I

Im Bereich $I$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=0$ \begin{align} \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x) \end{align}

wenn wir $\kappa$ definieren als \begin{align} \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar } \end{align}

Die allgemeine Lösung $\psi _I(x,t)$ in diesem Bereich ist dann \begin{align} \psi _I(x,t)=A e^{i\kappa t} + B e^{-i\kappa t} \end{align} Da $e^{-i\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$ \begin{align} \psi _I(x,t)=A e^{i\kappa t} \end{align}

Bereich II

Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$ \begin{align} \left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \ell^2 \phi(x) \end{align}

wenn wir $\ell$ definieren als \begin{align} \ell = \frac{\sqrt{-2m(E+V_0)}}{\hbar } \end{align}

Die Energy ist für gebundene Zustände negativ $E < 0$ und $E$ muss größer $-V_0$ sein $-V_0 < E$ Die allgemeine Lösung $\psi_{II}(x,t)$ für den Bereich $II$ ist \begin{align} \psi _{II}(x,t)=C e^{i\ell t} + D e^{-i\ell t} \end{align} aber wir können auch das Fundamentalsystem $\{ \sin(lt) , \cos(lt) \}$ wählen \begin{align} \psi _{II}(x,t)=C \sin(lt) + D \cos(lt) \end{align} Diese Wahl erspart uns später einige Rechenschritte

Bereich III

Im Bereich $III$ ist das Potential wieder null $V(x)=0$ und es gilt die selbe Schrödinger Gleichung wie in Bereich $I$ \begin{align} \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x) \end{align}

mit \begin{align} \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar } \end{align}

und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{i\kappa t}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb \begin{align} \psi _{III}(x,t)=F e^{-i\kappa t} \end{align}


Bestimmung der Konstanten