Kastenpotential

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Die allgemeine Lösung $\psi _I(x)$ in diesem Bereich ist dann
 
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\psi _I(x)=A e^{i\kappa x} + B e^{-i\kappa x}
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\psi _I(x)=A e^{\kappa x} + B e^{-\kappa x}
 
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Da $e^{-i\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$  
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Da $e^{-\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$  
 
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\psi _I(x,t)=A e^{i\kappa x}  
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Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$
 
Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$
 
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\left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \ell^2 \phi(x)
+
\left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) =- \ell^2 \phi(x)
 
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aber wir können auch das [[Inner Product Space#Continuous Inner Product|Fundamentalsystem]] $\{ \sin(lt) , \cos(lt) \}$ wählen
 
aber wir können auch das [[Inner Product Space#Continuous Inner Product|Fundamentalsystem]] $\{ \sin(lt) , \cos(lt) \}$ wählen
 
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\psi _{II}(x)=C \sin(lx) + D \cos(lx)
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\psi _{II}(x)=C \sin(\ell x) + D \cos( \ell x)
 
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Diese Wahl erspart uns später einige Rechenschritte
 
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und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{i\kappa t}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb
 
und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{i\kappa t}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb
 
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\psi _{III}(x)=F e^{-i\kappa x}
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\psi _{III}(x)=F e^{-\kappa x}
 
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== Bestimmung der Konstanten ==
 
== Bestimmung der Konstanten ==
Im Bereich $II$ genügt es entweder eine gerade $D \cos(lt)$ oder eine ungerade Funktion $C \sin(lt)$ zu wählen. Wir entscheiden uns für die gerade Funktion. Die restlichen Konstanten können wir mit den Stetigkeitsbedingungen an $a/2$ bestimmen. Dort muss gelten
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Im Bereich $II$ genügt es entweder eine gerade $D \cos(\ell x)$ oder eine ungerade Funktion $C \sin(\ell x)$ zu wählen. Wir entscheiden uns für die gerade Funktion. Die restlichen Konstanten können wir mit den Stetigkeitsbedingungen an $a/2$ bestimmen. Dort muss gelten
 
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\psi _{II}(x)=\psi _{III}(x)\\
+
\psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)\\
D \cos(lx)=F e^{-i\kappa x} \label{eq1}
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D \cos(\ell a)=F e^{-\kappa a} \label{eq1}
 
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und
 
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\frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(x)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(x)\\
+
\frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(a)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(a)\\
D (-1) \sin(lx)=F i\kappa e^{-i\kappa x}\label{eq2}
+
D (-\ell) \sin(\ell a)=F (- \kappa ) e^{-i\kappa a}\label{eq2}
 
\end{align}
 
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Dividing \ref{eq2} by \ref{eq1} we get
 
Dividing \ref{eq2} by \ref{eq1} we get
  
 
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\frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(x)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(x)\\
+
\frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(a)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(a)\\
\kappa = i\frac{D \sin(lx)}{D \cos(lx)}
+
\kappa =\ell \frac{ \sin(\ell a)}{ \cos(\ell a)} = \ell tan(\ell a)
 
\end{align}
 
\end{align}

Revision as of 00:36, 3 August 2013

Kasten.png

Contents

Kastenpotential mit endlicher Tiefe

Wir betrachten ein Teilchen in einem eindimensionalen Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $-V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.


\begin{align} V(x)=\begin{cases} -V_0 &\mbox{für } -a/2 \leq x \leq a/2 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} \end{align}

Wellenfunktion in den Bereichen I, II, III

Bereich I

Im Bereich $I$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=0$ \begin{align} \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x) \end{align}

wenn wir $\kappa$ definieren als \begin{align} \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar } \end{align}

Die allgemeine Lösung $\psi _I(x)$ in diesem Bereich ist dann \begin{align} \psi _I(x)=A e^{\kappa x} + B e^{-\kappa x} \end{align} Da $e^{-\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$ \begin{align} \psi _I(x,t)=A e^{\kappa x} \end{align}

Bereich II

Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$ \begin{align} \left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) =- \ell^2 \phi(x) \end{align}

wenn wir $\ell$ definieren als \begin{align} \ell = \frac{\sqrt{-2m(E+V_0)}}{\hbar } \end{align}

Die Energy ist für gebundene Zustände negativ $E < 0$ und $E$ muss größer $-V_0$ sein $-V_0 < E$ Die allgemeine Lösung $\psi_{II}(x,t)$ für den Bereich $II$ ist \begin{align} \psi _{II}(x)=C e^{i\ell x} + D e^{-i\ell x} \end{align} aber wir können auch das Fundamentalsystem $\{ \sin(lt) , \cos(lt) \}$ wählen \begin{align} \psi _{II}(x)=C \sin(\ell x) + D \cos( \ell x) \end{align} Diese Wahl erspart uns später einige Rechenschritte

Bereich III

Im Bereich $III$ ist das Potential wieder null $V(x)=0$ und es gilt die selbe Schrödinger Gleichung wie in Bereich $I$ \begin{align} \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x) \end{align}

mit \begin{align} \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar } \end{align}

und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{i\kappa t}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb \begin{align} \psi _{III}(x)=F e^{-\kappa x} \end{align}


Bestimmung der Konstanten

Im Bereich $II$ genügt es entweder eine gerade $D \cos(\ell x)$ oder eine ungerade Funktion $C \sin(\ell x)$ zu wählen. Wir entscheiden uns für die gerade Funktion. Die restlichen Konstanten können wir mit den Stetigkeitsbedingungen an $a/2$ bestimmen. Dort muss gelten \begin{align} \psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)\\ D \cos(\ell a)=F e^{-\kappa a} \tag{1} \end{align} und \begin{align} \frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(a)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(a)\\ D (-\ell) \sin(\ell a)=F (- \kappa ) e^{-i\kappa a}\tag{2} \end{align} Dividing (2) by (1) we get

\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(a)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(a)\\ \kappa =\ell \frac{ \sin(\ell a)}{ \cos(\ell a)} = \ell tan(\ell a) \end{align}