Kastenpotential

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'''Kastenpotential mit endlicher Tiefe''' <br\>
 
Wir beschränken uns hier auf ein eindimensionales Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.<br\> <br\>
 
[[File:Kasten.png|500px]]<br\>
 
Allgemein gilt für den Ansatz bei einem Rechteckpotential<br\>
 
*Fall 1: $E>V \Rightarrow E-V=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ mit $k>0$ wir machen den Ansatz<br\>
 
:$\varphi(x)=Ae^{ikx}+A'e^{-ikx}$
 
*Fall 2: $E<V \Rightarrow V-E=\frac{\hbar^2 \rho^2}{2m}$ mit $k>0$ wir machen den Ansatz<br\>
 
:$\varphi(x)=Be^{\rho x}+B'e^{-\rho x}$<br\><br\>
 
  
Wir untersuchen den Fall mit $-V_0<E<0$ und machen für die Bereiche I, II, III den Ansatz<br\><br\>
 
{|
 
|$\varphi(x)_I=B_1e^{\rho x}+B_1'e^{-\rho x}$
 
|-
 
|$\varphi(x)_{II}=A_2e^{ikx}+A_2'e^{-ikx}$
 
|-
 
|$\varphi(x)_{III}=B_3e^{\rho x}+B_3'e^{-\rho x}$
 
|}
 
<br\><br\>
 
Da $\hbar^2 k^2=p^2$ und $E=\frac{p^2}{2m}$ gilt<br\><br\>
 
$\rho=\sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}$
 
<br\><br\>
 
$k=\sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}}$
 
<br\><br\>
 
Die Wellenfunktion ist im Bereich I null $B_1'=0$ weil die Welle nicht die Energie besitzt aus dem Topf zu kommen.<br\>
 
Wegen Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Ableitung bei $-a/2$ gilt <br\>
 
$1:B_1e^{-\rho a/2}=A_2e^{-ika/2}+A_2'e^{ika/2}$<br\>
 
$2:B_1\rho e^{-\rho a/2}=ik(A_2e^{-ika/2}-A_2'e^{ika/2})$<br\>
 
$1+2:B_1(1+\frac{\rho}{ik})e^{-\rho a/2}=2A_2 e^{-ika/2}\Rightarrow A_2=B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\>
 
$1-2:B_1(1-\frac{\rho}{ik})e^{-\rho a/2}=2A_2' e^{-ika/2}\Rightarrow A_2'=B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\><br\>
 
 
Dasselbe gilt bei $a/2$, wobei $B_3=0$ wiederum null ist, da Bereich III beschränkt ist.<br\>
 
$3:B_3'e^{-\rho a/2}=A_2e^{ika/2}+A_2'e^{-ika/2}$<br\>
 
$4:-B_3'\rho e^{-\rho a/2}=ik(A_2e^{ika/2}-A_2'e^{-ika/2})$<br\><br\>
 
 
Und wir können $A_2,A_2'$ von $1,2$ einsetzen.<br\>
 
$3:B_3'e^{-\rho x}=B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{ikx}-B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{-ikx}$<br\>
 
$4:-B_3'\rho e^{-\rho x}=ik(B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{ikx}+B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{-ikx})$<br\>
 
$3+4:B_3'(1-\frac{\rho}{ik})e^{-\rho (a/2)}=2A_2 e^{ik(a/2)}\Rightarrow A_2=B_3'(ik-\rho)/2ik \cdot e^{-(\rho+ik)a/2}$<br\>
 
$3-4:B_3'(1+\frac{\rho}{ik})e^{-\rho (a/2)}=2A_2' e^{-ik(a/2)}\Rightarrow A_2'=-B_3'(ik+\rho)/2ik \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\><br\>
 
 
 
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Latest revision as of 02:00, 3 August 2013