Kastenpotential

From bio-physics-wiki

(Difference between revisions)
Jump to: navigation, search
(Blanked the page)
 
(21 intermediate revisions by one user not shown)
Line 1: Line 1:
'''Unendlich tiefer Potentialtopf''': $V(x)$ ist überall unendlich "hoch" nur zwischen $0$ und $L$ ist es null. Das Teilchen muss am unendlich hohen Potential total reflektiert werden und deshalb ist $\varphi (x)$ außerhalb des Intervalls $[0,L]$ null. <br\><br\>[[File:Infinite_potential_well.svg|thumb|320px]]
 
  
Wir machen den Ansatz<br\>
 
$\varphi = Ae^{ikx} + A'e^{-ikx}$<br\>
 
Wegen $\varphi(0)=0$ erhalten wir $A'=-A$ und damit<br\>
 
$\varphi(x)=A(e^{ikx}-e^{-ikx})=2iA sin(kx)$<br\><br\>
 
ebenso gilt $\varphi(L)=0$ was dann<br\> <br\>
 
$\varphi(L)=2iA sin(kL)=0 \Rightarrow k=\frac{n\pi}{a}$ ergiebt. <br\> <br\>
 
Die Lösung der Wellengleichung für den endlichen Potentialtopf lautet.<br\> <br\>
 
$\varphi_n(x)=C \cdot sin(\frac{n\pi}{L}x)$<br\><br\>
 
Der Energiewert der $n-$ten Eigenschwingung ist<br\>
 
$E_n=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2\pi^2}{L^2}$<br\><br\>
 
 
<div style="background:#FEF5CA;border:1px solid #797979;border-radius:10px;padding:5px 15px 5px 15px;">
 
$ E_n=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2\pi^2}{L^2}$
 
</div><br\>
 
mit der Nullpunktsenergie <br\>
 
 
<div style="background:#FEF5CA;border:1px solid #797979;border-radius:10px;padding:5px 15px 5px 15px;">
 
$ E_1=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{L^2}$
 
</div><br\>
 
und nicht wie vielleicht erwartet null!<br\><br\>
 
 
----
 
 
'''Kastenpotential mit endlicher Tiefe''' <br\>
 
Wir beschränken uns hier auf ein eindimensionales Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.<br\> <br\>
 
[[File:Kasten.png|500px]]<br\>
 
Allgemein gilt für den Ansatz bei einem Rechteckpotential<br\>
 
*Fall 1: $E>V \Rightarrow E-V=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ mit $k>0$ wir machen den Ansatz<br\>
 
:$\varphi(x)=Ae^{ikx}+A'e^{-ikx}$
 
*Fall 2: $E<V \Rightarrow V-E=\frac{\hbar^2 \rho^2}{2m}$ mit $k>0$ wir machen den Ansatz<br\>
 
:$\varphi(x)=Be^{\rho x}+B'e^{-\rho x}$<br\><br\>
 
 
Wir untersuchen den Fall mit $-V_0<E<0$ und machen für die Bereiche I, II, III den Ansatz<br\><br\>
 
{|
 
|$\varphi(x)_I=B_1e^{\rho x}+B_1'e^{-\rho x}$
 
|-
 
|$\varphi(x)_{II}=A_2e^{ikx}+A_2'e^{-ikx}$
 
|-
 
|$\varphi(x)_{III}=B_3e^{\rho x}+B_3'e^{-\rho x}$
 
|}
 
<br\><br\>
 
Da $\hbar^2 k^2=p^2$ und $E=\frac{p^2}{2m}$ gilt<br\><br\>
 
$\rho=\sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}$
 
<br\><br\>
 
$k=\sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}}$
 
<br\><br\>
 
Die Wellenfunktion ist im Bereich I null $B_1'=0$ weil die Welle nicht die Energie besitzt aus dem Topf zu kommen.<br\>
 
Wegen Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Ableitung bei $-a/2$ gilt <br\>
 
$1:B_1e^{-\rho a/2}=A_2e^{-ika/2}+A_2'e^{ika/2}$<br\>
 
$2:B_1\rho e^{-\rho a/2}=ik(A_2e^{-ika/2}-A_2'e^{ika/2})$<br\>
 
$1+2:B_1(1+\frac{\rho}{ik})e^{-\rho a/2}=2A_2 e^{-ika/2}\Rightarrow A_2=B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\>
 
$1-2:B_1(1-\frac{\rho}{ik})e^{-\rho a/2}=2A_2' e^{-ika/2}\Rightarrow A_2'=B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\><br\>
 
 
Dasselbe gilt bei $a/2$, wobei $B_3=0$ wiederum null ist, da Bereich III beschränkt ist.<br\>
 
$3:B_3'e^{-\rho a/2}=A_2e^{ika/2}+A_2'e^{-ika/2}$<br\>
 
$4:-B_3'\rho e^{-\rho a/2}=ik(A_2e^{ika/2}-A_2'e^{-ika/2})$<br\><br\>
 
 
Und wir können $A_2,A_2'$ von $1,2$ einsetzen.<br\>
 
$3:B_3'e^{-\rho x}=B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{ikx}-B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{-ikx}$<br\>
 
$4:-B_3'\rho e^{-\rho x}=ik(B_1\frac{ik+\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{ikx}+B_1\frac{ik-\rho}{2ik} \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}e^{-ikx})$<br\>
 
$3+4:B_3'(1-\frac{\rho}{ik})e^{-\rho (a/2)}=2A_2 e^{ik(a/2)}\Rightarrow A_2=B_3'(ik-\rho)/2ik \cdot e^{-(\rho+ik)a/2}$<br\>
 
$3-4:B_3'(1+\frac{\rho}{ik})e^{-\rho (a/2)}=2A_2' e^{-ik(a/2)}\Rightarrow A_2'=-B_3'(ik+\rho)/2ik \cdot e^{(-\rho+ik)a/2}$<br\><br\>
 
 
 
----
 

Latest revision as of 02:00, 3 August 2013