|
|
(12 intermediate revisions by one user not shown) |
Line 1: |
Line 1: |
− | [[File:Kasten.png|thumb|700px]]
| |
− | == Kastenpotential mit endlicher Tiefe ==
| |
| | | |
− | Wir betrachten ein Teilchen in einem eindimensionalen Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $-V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.<br\> <br\>
| |
− | <br\>
| |
− | \begin{align}
| |
− | V(x)=\begin{cases} -V_0 &\mbox{für } -a/2 \leq x \leq a/2 \\
| |
− | 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− | ==Wellenfunktion in den Bereichen I, II, III==
| |
− |
| |
− | ===Bereich I===
| |
− | Im Bereich $I$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=0$
| |
− | \begin{align}
| |
− | \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x)
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− | wenn wir $\kappa$ definieren als
| |
− | \begin{align}
| |
− | \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar }
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− | Die allgemeine Lösung $\psi _I(x,t)$ in diesem Bereich ist dann
| |
− | \begin{align}
| |
− | \psi _I(x,t)=A e^{i\kappa t} + B e^{-i\kappa t}
| |
− | \end{align}
| |
− | Da $e^{-i\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$
| |
− | \begin{align}
| |
− | \psi _I(x,t)=A e^{i\kappa t}
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− | ===Bereich II===
| |
− | Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$
| |
− | \begin{align}
| |
− | \left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \ell^2 \phi(x)
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− | wenn wir $\ell$ definieren als
| |
− | \begin{align}
| |
− | \ell = \frac{\sqrt{-2m(E+V_0)}}{\hbar }
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− | Die Energy ist für gebundene Zustände negativ $E < 0$ und $E$ muss größer $-V_0$ sein $-V_0 < E$
| |
− | Die allgemeine Lösung $\psi_{II}(x,t)$ für den Bereich $II$ ist
| |
− | \begin{align}
| |
− | \psi _{II}(x,t)=C e^{i\ell t} + D e^{-i\ell t}
| |
− | \end{align}
| |
− | aber wir können auch das [[Inner Product Space#Continuous Inner Product|Fundamentalsystem]] $\{ \sin(lt) , \cos(lt) \}$ wählen
| |
− | \begin{align}
| |
− | \psi _{II}(x,t)=C \sin(lt) + D \cos(lt)
| |
− | \end{align}
| |
− | Diese Wahl erspart uns später einige Rechenschritte
| |
− |
| |
− | ===Bereich III===
| |
− |
| |
− | Im Bereich $III$ ist das Potential wieder null $V(x)=0$ und es gilt die selbe Schrödinger Gleichung wie in Bereich $I$
| |
− | \begin{align}
| |
− | \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x)
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− | mit
| |
− | \begin{align}
| |
− | \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar }
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− | und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{i\kappa t}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb
| |
− | \begin{align}
| |
− | \psi _{III}(x,t)=F e^{-i\kappa t}
| |
− | \end{align}
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− | == Bestimmung der Konstanten ==
| |