Kastenpotential

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(Bestimmung der Konstanten)
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== Kastenpotential mit endlicher Tiefe ==
 
  
Wir betrachten ein Teilchen in einem eindimensionalen Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $-V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.<br\> <br\>
 
<br\>
 
\begin{align}
 
V(x)=\begin{cases} -V_0 &\mbox{für } -a/2 \leq x \leq a/2 \\
 
0 & \mbox{sonst } \end{cases}
 
\end{align}
 
 
==Wellenfunktion in den Bereichen I, II, III==
 
 
===Bereich I===
 
Im Bereich $I$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=0$
 
\begin{align}
 
\frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x)
 
\end{align}
 
 
wenn wir $\kappa$ definieren als
 
\begin{align}
 
\kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar }
 
\end{align}
 
 
Die allgemeine Lösung $\psi _I(x)$ in diesem Bereich ist dann
 
\begin{align}
 
\psi _I(x)=A e^{i\kappa x} + B e^{-i\kappa x}
 
\end{align}
 
Da $e^{-i\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$
 
\begin{align}
 
\psi _I(x,t)=A e^{i\kappa x}
 
\end{align}
 
 
===Bereich II===
 
Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$
 
\begin{align}
 
\left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \ell^2 \phi(x)
 
\end{align}
 
 
wenn wir $\ell$ definieren als
 
\begin{align}
 
\ell = \frac{\sqrt{-2m(E+V_0)}}{\hbar }
 
\end{align}
 
 
Die Energy ist für gebundene Zustände negativ $E < 0$ und $E$ muss größer $-V_0$ sein $-V_0 < E$
 
Die allgemeine Lösung $\psi_{II}(x,t)$ für den Bereich $II$ ist
 
\begin{align}
 
\psi _{II}(x)=C e^{i\ell x} + D e^{-i\ell x}
 
\end{align}
 
aber wir können auch das [[Inner Product Space#Continuous Inner Product|Fundamentalsystem]] $\{ \sin(lt) , \cos(lt) \}$ wählen
 
\begin{align}
 
\psi _{II}(x)=C \sin(lt) + D \cos(lt)
 
\end{align}
 
Diese Wahl erspart uns später einige Rechenschritte
 
 
===Bereich III===
 
 
Im Bereich $III$ ist das Potential wieder null $V(x)=0$ und es gilt die selbe Schrödinger Gleichung wie in Bereich $I$
 
\begin{align}
 
\frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x)
 
\end{align}
 
 
mit
 
\begin{align}
 
\kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar }
 
\end{align}
 
 
und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{i\kappa t}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb
 
\begin{align}
 
\psi _{III}(x)=F e^{-i\kappa x}
 
\end{align}
 
 
 
 
== Bestimmung der Konstanten ==
 
Im Bereich $II$ genügt es entweder eine gerade $D \cos(lt)$ oder eine ungerade Funktion $C \sin(lt)$ zu wählen. Wir entscheiden uns für die gerade Funktion. Die restlichen Konstanten können wir mit den Stetigkeitsbedingungen an $a/2$ bestimmen. Dort muss gelten
 
\begin{align}
 
\psi _{II}(x)=\psi _{III}(x)\\
 
D \cos(lx)=F e^{-i\kappa x}
 
\end{align}
 

Latest revision as of 02:00, 3 August 2013