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| − | [[File:Kasten.png|thumb|700px]]
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| − | == Kastenpotential mit endlicher Tiefe ==
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| − | Wir betrachten ein Teilchen in einem eindimensionalen Kastenpotential, das eine endliche Tiefe $-V_0$ haben und von $x=-a/2$ bis $x=a/2$ reichen soll.<br\> <br\>
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| − | \begin{align}
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| − | V(x)=\begin{cases} -V_0 &\mbox{für } -a/2 \leq x \leq a/2 \\
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| − | 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
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| − | \end{align}
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| − | ==Wellenfunktion in den Bereichen I, II, III==
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| − | ===Bereich I===
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| − | Im Bereich $I$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=0$
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| − | \begin{align}
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| − | \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x)
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| − | \end{align}
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| − | wenn wir $\kappa$ definieren als
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| − | \begin{align}
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| − | \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar }
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| − | \end{align}
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| − |
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| − | Die allgemeine Lösung $\psi _I(x)$ in diesem Bereich ist dann
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| − | \begin{align}
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| − | \psi _I(x)=A e^{\kappa x} + B e^{-\kappa x}
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| − | \end{align}
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| − | Da $e^{-\kappa t}$ aber für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich geht, muss $B=0$ sein. Also gilt im Bereich $I$
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| − | \begin{align}
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| − | \psi _I(x,t)=A e^{\kappa x}
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| − | \end{align}
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| − | ===Bereich II===
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| − | Im Bereich $II$ gilt die Schrödinger Gleichung mit $V(x)=-V_0$
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| − | \begin{align}
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| − | \left( \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} -V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) =- \ell^2 \phi(x)
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| − | \end{align}
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| − | wenn wir $\ell$ definieren als
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| − | \begin{align}
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| − | \ell = \frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar }
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| − | \end{align}
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| − | Die Energy ist für gebundene Zustände negativ $E < 0$ und $E$ muss größer $-V_0$ sein $-V_0 < E$.
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| − | Die allgemeine Lösung $\psi_{II}(x,t)$ für den Bereich $II$ ist
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| − | \begin{align}
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| − | \psi _{II}(x)=C e^{i\ell x} + D e^{-i\ell x}
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| − | \end{align}
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| − | aber wir können auch das [[Inner Product Space#Continuous Inner Product|Fundamentalsystem]] $\{ \sin(\ell x) , \cos(\ell x) \}$ wählen
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| − | \begin{align}
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| − | \psi _{II}(x)=C \sin(\ell x) + D \cos( \ell x)
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| − | \end{align}
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| − | Diese Wahl erspart uns später einige Rechenschritte
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| − | ===Bereich III===
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| − | Im Bereich $III$ ist das Potential wieder null $V(x)=0$ und es gilt die selbe Schrödinger Gleichung wie in Bereich $I$
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| − | \begin{align}
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| − | \frac{-\hbar^2 }{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = E \phi(x) \quad \text{oder} \quad \frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi(x) = \kappa^2 \phi(x)
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| − | \end{align}
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| − |
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| − | mit
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| − | \begin{align}
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| − | \kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar }
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| − | \end{align}
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| − | und der selben allgemeinen Lösung. Allerdings geht $e^{i\kappa t}$ für $x \rightarrow \infty$ gegen unendlich. Die Lösung im Bereich $III$ ist deshalb
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| − | \begin{align}
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| − | \psi _{III}(x)=F e^{-\kappa x}
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| − | \end{align}
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| − | == Bestimmung der Konstanten ==
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| − | Weil das potential im Bereich $II$ symmetrisch ist, genügt es entweder eine gerade $D \cos(\ell x)$ oder eine ungerade Funktion $C \sin(\ell x)$ als Lösung zu wählen. Wir entscheiden uns für die gerade Funktion. Die restlichen Konstanten können wir mit den Stetigkeitsbedingungen an $a/2$ bestimmen. Dort muss gelten
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| − | \begin{align}
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| − | \psi _{II}(a/2)=\psi _{III}(a/2)\\
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| − | D \cos(\ell a)=F e^{-\kappa a} \label{eq1}
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| − | \end{align}
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| − | und
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| − | \begin{align}
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| − | \frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(a)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(a)\\
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| − | D (-\ell) \sin(\ell a/2)=F (- \kappa ) e^{-i\kappa a/2}\label{eq2}
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| − | \end{align}
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| − | Division von \ref{eq2} durch \ref{eq1} ergibt
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| − | \begin{align}
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| − | \frac{\partial}{\partial x} \psi _{II}(a/2)=\frac{\partial}{\partial x}\psi _{III}(a/2)\\
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| − | \kappa =\ell \frac{ \sin(\ell a/2)}{ \cos(\ell a/2)} = \ell \cdot tan(\ell a/2)\label{eq3}
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| − | \end{align}
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| − | Wir möchten nun die Energie für die gebundenen Zustände bestimmen. Da $E$ sowohl in der Formel für $\kappa$ als auch jener für $\ell$ vorkommt, können wir die erlaubten Energiewerte von im Potentialtopf als Schnittpunkte der Graphen der Gleichungen für $\kappa$ und $\ell$ bestimmen.
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| − | \begin{align}
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| − | \kappa^2 = \frac{-2mE}{\hbar^2 } \quad \text{und} \quad \ell^2 = \frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2 }
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| − | \end{align}
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| − | \begin{align}
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| − | \kappa^2 + \ell^2= \frac{-2mE}{\hbar^2 }+\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2 } =\frac{2m V_0}{\hbar^2 }\\
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| − | \end{align}
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| − | daraus erhalten wir
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| − | \begin{align}
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| − | \frac{\kappa^2}{\ell^2}=\frac{2m V_0}{\hbar^2 }-1\\
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| − | \end{align}
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| − | Diese Gleichung zusammen mit \ref{eq3} ergibt
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| − | \begin{align}
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| − | \sqrt{\frac{2m V_0}{\hbar^2 }-1}=tan(\ell a/2)\\
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| − | \end{align}
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| − | Wenn wir nun das argument des $\tan$ umbenennen $\ell a/2=z$ und die linke Seite als funktion von $z$ schreiben erhalten wir
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| − | \begin{align}
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| − | \sqrt{(\frac{z_0}{z }-1})^2=tan(\ell a/2)\\
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| − | \end{align}
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| − | mit
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| − | \begin{align}
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| − | z_0=\frac{a}{2\hbar} \sqrt{2mV_0}
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| − | \end{align}
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