Liapunov Exponent

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Wenn das Verhalten einer Lösung chaotisch ist, müssen die Lösung empfindlich gegenüber den Anfangsbedingungen sein. Zwei benachbarte Trajektorien (ODEs) oder Orbits (Abbildungen) entfernen sich dann exponentiell von einander.


Differentialgleichungen

Angenommen die Lösung einses Differentialgleichungssystems zur Zeit $t$ ist $\mathbf{x}(t)$. Betrachte einen Punkt in der unmittelbaren Nachbarschaft $\mathbf{x}(t)+\delta(t)$ mit dem anfänglichen Abstand $\|\delta_0 \|=10^{-15}$. Typischer weise nimmt $\|\delta(t) \|$ eine exponentielle Form an

Liapunovexp.png

\begin{align} \|\delta(t) \| \approx \| \delta_0 \| e^{\lambda t} \end{align}

  • $\lambda >0$ empfindlich gegenüber Anfangsbedingungen, Chaos
  • $\lambda <0$ Fixpunkt oder Grenzzyklus

$\lambda$ ist der Liapunov Exponent für ein eindimensionales System. Für $n$-dimensionale Systeme existieren $n$ Liapunov Exponenten. Die $\delta_k(0)$ bilden dann eine Kugel die sich im laufe der Zeit zu einem Elipsoid verformt. Für $\|\delta_k(t) \| \approx \| \delta_0 \| e^{\lambda_k t}$ mit $k=1,2,\dots$ gibt das größte $\lambda_k$ den Durchmesser des Elipsoids an, der größte Liapunov exponent ist also entscheidend. Wenn man exakt sein will muss man eigentlich über meherer Punkte der Trajektorie mitteln, weil die $\lambda$'s entlang der Trajektorie schwanken. Außerdem kann der Durchmesser des Elipsoids nicht größer werden als jener des Attraktors. Es gibt also einen Zeithorizont, eine maximale Zeit für die wir Vorhersagen über die Trajektorie machen können. Angenommen wir messen die Anfangsbedingung so genau wie möglich, dann finden wir immer noch einen kleinen Fehler $\|\delta_0 \|$ in den Anfangsbedingungen. Der Liapunov Exponent sagt uns dann wie dieser Fehler mit der Zeit wächst. Für $\|\delta(t) \| \geq a$ werden die Vorhersagen allerdings intollerabel, das passiert nach der Zeit

\begin{align} t_{horizon} \approx O\left( \frac{1}{\lambda} \ln\frac{a}{\| \delta_0 \|} \right) \end{align}

Differenzengleichungen

Es sei der Anfangspunkt $x_0$ gegeben. Betrachte den Punkt $x_0+\delta_0$ wobei der anfängliche Abstand $\delta_0$ sehr klein sei. $\delta_n$ sei der Abstand dieses Punktes nach der $n$-ten Iteration. \begin{align} |\delta_n | \approx | \delta_0 | e^{n \lambda} \end{align} Ein positiver Liapunov Exponent charakterisiert Chaos. Nun formen wir nach dem Liapunov Exponenten um \begin{align} \lambda &\approx \frac{1}{n} \ln \left| \frac{\delta_n}{\delta_0} \right|\\ &\approx \frac{1}{n} \ln \left| \frac{f^n(x_0 + \delta_0)-f^n(x_0)}{\delta_0} \right|\\ &\approx \lim_{\delta_0 \rightarrow 0} \frac{1}{n} \ln \left| \frac{f^n(x_0 + \delta_0)-f^n(x_0)}{\delta_0} \right| =\frac{1}{n} \ln \left| (f^n)'(x_0) \right|\\ \end{align} und können schreiben $(f^n)'(x_0)$ mit Hilfe der Kettenregel als Produkt \begin{align} (f^n)'(x_0)= \prod_{i=0}^{n-1}f'(x_i) \end{align} \begin{align} \lambda &\approx \frac{1}{n} \ln \left| \prod_{i=0}^{n-1}f'(x_i) \right|\\ &\approx \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \ln \left| f'(x_i) \right|\\ \end{align} Wenn dieser Ausdruck ein limit für $n \rightarrow \infty$ besitzt, definieren wir den Liapunov Exponenten für den Orbit mit starpunkt $x_0$ als \begin{align} \lambda &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \ln \left| f'(x_i) \right| \right)\\ \end{align}