Logistische Gleichung

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Die logistische Gleichung ist das diskrete Analogon der logistischen Funktion.

\begin{align} x_{n+1}=r \cdot x_n(1-x_n) \end{align} sie beschreibt das Populationwachstum $x_n$ für die $n$-te Generation bei einer Wachstumsrate $r$. Die Parabel $r \cdot x_n(1-x_n)$ nimmt ein Maximum bei $x=1/2$ von $r/4$ an. Wählen wir einen festen Anfangswert $x_0$ können wir die Folge $x_n$ für verschiedene $r$ berechnen.

  • für $r<1$ verschwindet die Population
  • für $1<r<3$ wachst die Population und erreicht für große $n$ einen Fixpunkt
  • für $r=3.3$, $r=3.5$, $\dots$ periodisches Verhalten entsteht

Logist2-8.png
Logist3-3.png
Logist3-5.png

Für $r=3.3$ z.B. stellt sich nach einigen Rekursionen die Periode 2 ein. Die Lösung spring also periodisch zwischen zwei Punkten hin und her. Für $r=3.5$ verdoppelt sich die Periode und es entsteht die Periode 4. Für größer werdende Kontrollparameter $r$ treteten zunehmend Periodenverdopplungen auf.

$r_2$ $3$ Periode 2
$r_4$ $ 3.4494897428$ Periode 4
$r_8$ $ 3.5440903596$ Periode 8
$r_{16}$ $ 3.5644072661$ Periode 16
$r_{32}$ $ 3.5687594195$ Periode 32
$r_{64}$ $ 3.5696916098$ Periode 64
$\vdots$
$r_{\infty}$ $ 3.5699456\dots$ Periode $\infty$

Für große $n\rightarrow \infty$ schrumpft die Distanz zwischen zwei $r$'s bei jeder Periodenverdopplung um einen konstanten Faktor \begin{equation} \delta = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r_n-r_{n-1}}{r_{n+1}-r_n}=4.669 \dots \end{equation} Für $r>r_{\infty}$ wird das Verhalten der Lösung aperiodisch, also chaotisch.

Spinnwebe der logistischen Gleichung für $r=3.9$
Zeitreihe der logistischen Gleichung für $r=3.9$


Einen Überblick des Verhaltens der logistischen Gleichung für die möglichen Kontrollparameter-Werte $r$ bekommt man in einem Orbit-Diagramm

Feig.png

Das Diagramm zeigt den Bereich $2.4<r<4$. Für $r<3$ existiert ein Fixpunkt, dann findet die erste Bifurkation statt die Periode verdopplt sich dabei. Für größer werdende $r$ finden weitere Bifurkationen mit Periodenverdopplung statt, bis das Verhalten bei $r>r_{\infty}$ chaotisch wird. Bei $r\approx 3.83$ beginnt ein unerwartetes periodisches Fenster mit der Periode 3.

Transkritische Bifurkation

Erst berechnen wir die Fixpunkte der logistischen Gleichung, wie im Artikel Differenzengleichungen erklärt

\begin{align} f(x^*)&=x^*\\ rx^*(1-x^*)&=x^*\\ -r(x^*)^2+rx^*-x^*&=0\\ x^*(-rx^*+r-1)&=0 \rightarrow x_1^*=0 \\ rx^*&=r-1 \rightarrow x_2^*=1-1/r \end{align} und untersuchen ihre Stabilität. \begin{align} f'(x^*)&=r-2rx^*\\ x_1^*=0 & \rightarrow f'(x^*)=r\\ x_2^*=1-1/r & \rightarrow f'(x^*)=r-2r(1-1/r)=2-r \end{align} Für $r<1$ schneidet die Parabel den Median nicht, für den kritischen Wert $r=1$ ist der Median am Ursprung tangential zur Parabel. Für $r>1$ tritt eine transkritische Bifurkation ein. Es entsteht ein Fixpunkt $x^*$ am Schnittpunkt zwischen Parabel und Median, der für die kritische Steigung der Prabel $f'(x^*)=-1$ bei $r=3$ instabil wird.

Logisttrans.png

Es entsteht dann eine Periodenverdoppelung mit Periode 2. Solche Bifurkationen werden Flip Bifurkationen genannt.

Um die Stabilität der Periode 2 und höheren Perioden zu untersuchen betrachtet man die Abbildung der zweiten Iteration $f^2(x)$ oder eben für $f^n(x)$ die Abbildung der $n$-ten Iteration $f^n(x)$. \begin{align} f^1(x_n)&=rx(1-x)\\ f^2(x_n)&=rrx(1-x)(1-rx(1-x))=r^2 x - r^2 rx x - r^2 x^2 + 2 r^2 rx x^2 - r^2 rx x^3\\ f^3(x_n)&=r^2\left( rx(1-x) \right)-(r-r^3) \left( rx(1-x) \right)^2-r^3 \left( rx(1-x) \right)^4=r^3 x - 2 r^3 x^2 + r^5 x^2 + 2 r^3 x^3 - 2 r^5 x^3 - r^3 x^4 + r^5 x^4 - r^7 x^4 + 4 r^7 x^5 - 6 r^7 x^6 + 4 r^7 x^7 - r^7 x^8 \vdots \end{align} Benutze Matematica um die Fuktionen zu ploten (Man kann den Befehl 'Expand' benutzen um zu sehen von welcher Ordnung die Terme sind aus denen die Funktion $f^n$ besteht: linear, quadradic, cubic,... so bekommt man zumindest eine Ahnung davon, wie sich die Funktion verhalten könnte. Benutze den Befehl 'Simplify' um Ausdrücke zu Faktorisieren.)

Manipulate[Plot[{r^2 x - r^2 r*x* x - r^2 x^2 + 2 r^2 r*x* x^2 - r^2 r*x* x^3, 
  x}, {x, 0, 5}, AspectRatio -> Automatic, 
 BaseStyle -> {FontWeight -> "Bold", FontSize -> 20}, 
 PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}}], {r, 0, 4}]
Logistf2.png

Lösen der Gleichung $f^2(x)=f(f(x))=x$ vierten Grades ergibt die Fixpunkte $x^*=0$, $x^*=1-1/r$ sowie die Punkte $p,q$ durch lösen der quadratischen Gleichung \begin{align} p,q=\frac{r+1 \pm \sqrt{(r-3)(r+1)}}{2r} \end{align} Für $r>3$ existieren reale Lösungen für $p,q$. Es gibt dann also einen 2-Zyklus (Periode 2) der für $r=3$ verschwindet, gleichzeitig wird $p=q$. Die Stabilität der Fixpunkte kann durch Berechnung des Eigenwertes $\lambda$ bei $x=p$ bestimmt werden. \begin{align} \lambda=\frac{d}{dx}(f(f(x)))_{x=p}=f'(f(p))f'(p)=f'(q)f'(p) \end{align} Einsetzen für $p,q$ ergibt \begin{align} \lambda&=r(1-2q)r(1-2p)\\ &=r^2[1-2(p+q)+4pq]\\ &=r^2[1-2(r+1)/r+4(r+1)r^2]\\ &=4+2r-r^2 \end{align} der 2-Zyklus ist also für $|4+2r-r^2|<1$ stabil. Damit erhalten wir als Einschränkung für die stabile Region von $r$ \begin{align} 3<r<1+\sqrt{6} \end{align}