Mittelwert

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Mittelwertbildung

Sei $u$ eine von $M$ verschiedenen diskreten Variablen $u_1,u_2, \dots$ mit zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $P(u_1), P(u_2), \dots$ dann ist der Mittelwert $\bar{u}$ definiert als \begin{equation} \langle u \rangle=\frac{P(u_1)u_1 + P(u_2)u_2 + \dots + P(u_M)u_M}{P(u_1) + P(u_2) + \dots + P(u_M)u_M}=\frac{\sum\limits^{M}_{i=1}P(u_i)u_i}{\sum\limits^{M}_{i=1}P(u_i)}=\sum\limits^{M}_{i=1}P(u_i)u_i \end{equation} Allgemein gilt für eine beliebige Funktion $f(u)$, dass ihr Mittelwert $\langle {f}(u) \rangle$ durch \begin{equation} \langle {f}(u) \rangle=\frac{\sum\limits^{M}_{i=1}P(u_i)f(u_i)}{\sum\limits^{M}_{i=1}P(u_i)}=\sum\limits^{M}_{i=1}P(u_i)f(u_i) \end{equation} gebildet wird. Der Mittelwert hat folgende Eigenschaften

  • $\langle f(u)+g(u) \rangle=\langle {f}(u) \rangle+\langle {g}(u) \rangle$
  • $\langle c \cdot f(u) \rangle=c \cdot \langle {f}(u) \rangle$
  • $\langle f(u) \cdot g(u) \rangle=\langle {f}(u) \rangle \cdot \langle {g}(u) \rangle$

Varianz

Misst man nun die Abweichung von $u_i$ vom Mittelwert $\langle u \rangle$ \begin{equation} \Delta u := u - \langle u \rangle \end{equation} und bildet wiederum den Mittelwert dieser Abweichungen \begin{equation} \langle \Delta u \rangle = \langle u - \langle u \rangle \rangle=0 \end{equation} dann erhält man Null, weil die Abweichungen sowohl positiv als auch negativ sind und sich in Summe aufheben.

Beweis: \begin{equation} \langle \Delta u \rangle =\sum\limits^{M}_{i=1} P(u_i) \cdot (u_i - \langle u \rangle)=\sum\limits^{M}_{i=1} P(u_i) \cdot u_i -\langle u \rangle\sum\limits^{M}_{i=1} P(u_i) = \langle u \rangle - \langle u \rangle =0 \end{equation}

Um eine Aussage darüber machen zu können wie stark die Werte $u_i$ im Mittel von $\langle u \rangle$ abweichen bildet man daher das Quadrat der Abweichungen $\langle \Delta u \rangle^2 \geq 0$ welche immer positiv sind. Deshalb verschwinden die Mittelwerte über die Abweichungsquadrate auch nicht mehr. \begin{equation} \langle \Delta u \rangle^2 =\sum\limits^{M}_{i=1} P(u_i) \cdot (u_i - \langle u \rangle)^2 \geq 0 \end{equation} Man nennt die Größe $\langle \Delta u \rangle^2$ auch Schwankungsquadrat, Varianz, Streuung oder Dispersion. Man sollte sich folgende wichtige Beziehung merken, die sich unter Verwendung der Eigenschaften von Mittelwerten herleiten lässt. \begin{equation} \langle (u - \langle u \rangle)^2 \rangle= \langle(u^2 -2u\langle u \rangle + \langle u \rangle ^2) \rangle =\langle u^2 \rangle - \underbrace{\langle 2u\langle u \rangle \rangle}_{2 \langle u \rangle ^2} + \langle u \rangle ^2=\langle u^2 \rangle - \langle u \rangle^2 \end{equation} Das Schwankungsquadrat ist positiv also gilt \begin{equation} \langle u^2 \rangle \geq \langle u \rangle^2 \end{equation}