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Wie groß ist nach $N$ Sprüngen die mittlere Anzahl $\overline{n_1}$ von Schritten nach rechts? Um dies zu beantworten bilden wir den Mittelwert von $n_1$ \begin{align} \langle n_1 \rangle=\sum\limits^{N}_{n_1=0} P(n_1)n_1=\sum\limits^{N}_{n_1=0} n_1 \cdot \begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} p^{n_1} \cdot (1-p)^{N-n_1} \tag{1} \end{align}

Würde die Summe den Faktor $n_1$ nicht enthalten können wir sie mithilfe des Binomischen Lehrsatzes leicht berechnen. So aber müssen wir eine Methode verwenden die immer wieder nützlich ist, egal ob es sich um Summen oder Integrale handelt, mit ihrer Hilfe lassen sich Probleme dieser Form meist lösen. Es ist daher wertvoll die Methode genauer zu untersuchen und sich zu Merken.

Man kann das Produkt $n_1 p^{n_1}$ schreiben als $p \frac{\partial}{\partial p} p^{n_1}$ \begin{align} n_1 p^{n_1}=p \frac{\partial}{\partial p} p^{n_1} \end{align}

nun können wir die Summe (1) umschreiben als \begin{align} \langle n_1 \rangle&=\sum\limits^{N}_{n_1=0} n_1 \cdot \begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} p^{n_1} \cdot (1-p)^{N-n_1}=\sum\limits^{N}_{n_1=0} \begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} \left[ p \frac{\partial}{\partial p} p^{n_1} \right] \cdot (1-p)^{N-n_1}\\ &=p \frac{\partial}{\partial p} \left[ \sum\limits^{N}_{n_1=0} \begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} p^{n_1} \cdot (1-p)^{N-n_1} \right] \\ & \overset{B. L.}{=} p \frac{\partial}{\partial p} (p + q)^N\\ & = pN \cdot (p + q)^{N-1}= pN \cdot (1)^{N-1}\\ & = pN\\ \end{align} Die selbe berechnung für $\overline{n_2}$ liefert \begin{align} \langle n_2 \rangle=qN \end{align} sodass \begin{align} \langle n_1 \rangle+\langle n_2 \rangle=(p+q)N=N \end{align} und \begin{align} \langle m \rangle =\langle \langle n_1 \rangle - \langle n_2 \rangle \rangle=(p-q)N \end{align}