Nichtlineare Differentialgleichungen

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Gewöhnliche Differentialgleichungen sind von der Form \[ \left( y^{(n)}(x) \right)^{u_n} = f\left (x,\left(y(x)\right)^{u_1},\left(y'(x)\right)^{u_2}, \ldots, \left(y^{(n-1)}(x)\right)^{u_{n-1}} \right ),\] wobei $(n)$ für $n$-fach Abgeleitet steht. Ist $f$ eine lineare Funktion der Ableitungen, dann sind die Potenzen $u_1,u_2\dots, u_n$ alle eins. Für nichtlineare Differentialgleichungen ist dies nicht der Fall. Es existiert dann außer in Spezialfällen keine allgemeine Lösung mehr. Folgende nichtlineare Differentialgelichungen sind analytisch lösbar.

Bernoulli Differentialgleichung

Die Bernoulli Differentialgleichung ist eine der wenigen nichtlinearen Differentialgleichungen für die eine analytische Lösung existiert. Sie hat die Form \begin{equation} y'(x)+p(x)y(x)=q(x)y^n \tag{1} \end{equation}
und kann durch Variablentransformation gelöst werden. Dazu dividieren wir Gleichung (1) bei $y^n$ \begin{equation} \frac{y'}{y^n}+\frac{p(x)}{y^{n-1}}=q(x) \end{equation}
Durch die Variablentransformation \[w=\frac{1}{y^{n-1}}\] \[w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'\] erhalten wir so eine lineare Differentialgleichung \[\frac{w'}{1-n} + p(x)w = q(x)\] die wir mit dem Integrierdenden Faktor $u=e^{\int (1-n)p(x) dx}$ lösen können \[uw' + u(1-n)p(x)w = (1-n)uq(x)\] \[(uw)'= (1-n)uq(x)\] \[uw=(1-n) \int uq(x) dx\] \[w= e^{-\int (1-n)p(x) dx} \left[ (1-n)\int e^{\int (1-n)p(x) dx} q(x) dx +C \right]\]

Nach Rücktransformation $y=w^{-1/(n-1)}$ erhält man die Lösung

\[y= \left( e^{-\int (1-n)p(x) dx} \left[(1-n) \int e^{\int (1-n)p(x) dx} q(x) dx +C \right]\right)^{-1/(n-1)}\]

Nachdem Jakob Bernoulli 1695 nach Monaten des Kampfes um die Lösung der heute nach ihm benannten Differentialgleichung einen Wettbewerb ausschrieb, gelang es seinem Bruder Johann Bernoulli das Problem mit einem Produktansatz $y(x)=u(x)\cdot v(x)$ lösen. Durch Anwendung der Produktregel \[y(x)'=\underbrace{u(x)'\cdot v(x)}_{1}+\underbrace{u(x)\cdot v(x)'}_{2}=\underbrace{q(x)u(x)^nv(x)^n}_{1'}+ \underbrace{(-p^*(x))u(x)v(x)}_{2'}\] Gleichsetzen der Terme $1=1'$ und $2=2'$ ergibt zwei Differentialgleichungen die durch Separation der Variablen gelöst werden können. Außerdem können wir das negative Vorzeichen in die Funktion ziehen und definieren $p(x)=(-p^*(x))$. \[u(x)'=q(x)u(x)^nv(x)^{(n-1)}\] \[\int \frac{du}{u(x)^n}=\frac{1}{(n-1)u(x)^{(n-1)}}=\int\limits_0^x q(t)v(t)^{(n-1)}dt + C\] \[u(x)=\frac{y(x)}{v(x)}=\left((n-1)\int\limits_0^x q(t)v(t)^{(n-1)}dt + C \right)^{-1/(n-1)}\]

\[v(x)'=p(x)v(x)\] \[v(x)=c \cdot e^{\int p(x) dx}\]

Sodass wir auf dieselbe Lösung kommen, wenn wir das Vorzeichen $p(x)=(-p^*(x))$ beachten.

\[y(x)= e^{\hspace{0.1cm}\int\limits p(x) dx} \left((n-1)\int\limits_0^x q(t)v(t)^{(n-1)}dt + C \right)^{-1/(n-1)}\]

Riccati Differentialgleichung

Die Riccati Differentialgleichung hat eine ähnliche Form wie die Bernoulli Differentialgleichung. In der Terminologie der linearen Differentialgleichungen könnte man sie als inhomogene Bernoulli Gleichung mit $n=2$ bezeichnen. \begin{equation} y'(x)+p(x)y(x)=q(x)y^2+r(x) \tag{2} \end{equation}

Die Lösung dieser Gleichung ist allerdings weder durch Variation der Konstanten, noch durch einen Produktansatz lösbar. Ein möglicher Lösungsweg nutzt folgenden Zusammenhang

\[\underbrace{-(w'/w)'}_{v'}=-(w''/w) + \underbrace{(w'/w)^2}_{v^2} \tag{3}\]

\[(w''/w) =v^2-v'\]


Wir lösen also nun die Riccatische Differentialgleichung indem wir die quadratische Variable freistellen, dazu machen wir die Variablentransformation $v=qy$. Dann erhalten wir die Gleichung

\[v'=(qy)'=qy'+q'y=q \left( q \frac{v^2}{q^2} +r-p \frac{v}{q} \right) +q'\frac{v}{q}=v^2 + \left(\frac{q'}{q}+p \right)v + q r\]

\[v'= v^2 + \underbrace{\left(\frac{q'}{q}+p \right)}_{P(x)}v + \underbrace{q r}_{Q(x)}\]

\[v'= v^2 +{P(x)}v +{Q(x)}\]

Die sinnvolle Variablentransformation ist nach (3) $v=-(w'/w)$ und $v'=(w''/w) +v ^2$, sodass wir eine Differentialgleichung zweiter Ordnung erhalten

\[(w''/w)=v ^2-v' = {P(x)}(w'/w) -{Q(x)}\]

\[(w''/w) ={P(x)}(w'/w) -{Q(x)}\]

\[w'' -{P(x)}w' +{Q(x)w}=0\]

Man erhält $y$ durch die Rücktransformation $y=-w'/(qw)$