Pauliprinzip

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Wir betrachten zwei Elektronen $e_1,e_2$ mit Ortskoordinaten $\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2$ in den Zuständen \begin{align} a=(n_1,l_1,m_{l1})\\ b=(n_2,l_2,m_{l2}) \end{align} Man bekommt die Gesamtwellenfunktion aus dem Produkt der Wellenfunktionen $\psi_I(a) \cdot \psi_{II}(b)$. \begin{align} \Psi_I=\psi_I(a) \cdot \psi_{II}(b)\\ \Psi_{II}=\psi_I(b) \cdot \psi_{II}(a)\\ \end{align} Die Elektronen sind ununterscheidbar, deshalb darf sich auch das Quadrat der Wellenfunktionen $\Psi_{I}, \Psi_{II}$ bei vertauschen der Elektronen nicht unterscheiden. \begin{align} |\Psi_I|^2=|\Psi_{II}|^2\\ \Rightarrow \Psi_{I}= \pm \Psi_{II} \end{align} Somit muss die Wellenfunktion nach

  • einmaliger $\Psi_{I}= \Psi_{II}$ (Fall a) symmetrisch)
  • zweimaliger Permutation der Elektronen $\Psi_{I}=- \Psi_{II}$ in sich selbst übergehen (Fall b) antisymmetrisch)

Dies wird von $\Psi_{I}, \Psi_{II}$ nicht erfüllt, wir bilden daher die zwei Gleichungen \begin{align} \text{a)} \Psi_s=\psi_I(a) \cdot \psi_{II}(b)+\psi_I(b) \cdot \psi_{II}(a)\\ \text{b)} \Psi_{a}=\psi_I(b) \cdot \psi_{II}(a)-\psi_I(b) \cdot \psi_{II}(a)\\ \end{align} welche diese Forderungen Fallweise erfüllt. Haben beide Zustände exakt die selben Quantenzahlen $(n,l,m_l)$ dann muss Fall a) gelten und wir erhalten nach einmaliger Permutation denselben Zustand. Wenn sich aber die Spinquantenzahl $m_s$ der Elektronen unterscheidet (z.B. $m_{s1}=\uparrow, m_{s2}=\downarrow$) dann müssen die Elektronen zweimal vertauscht werden um den selben Zustand zu erhalten, wir sind dann in Fall b). Die Wellenfuktion ist dann gegenüber einmaliger Vertauschung antisymmetrisch. Man hat nun experimentell gefunden, dass nur Fall b) in der Natur vorkommt.

Pauliprinzip
Die Gesamtwellenfuktion eines Systems mit mehreren Elektronen ist immer Antisymmetrisch gegenüber Vertauschung zweier Elektronen.