Plank'sche Strahlungsgesetz

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Plank betrachtete wie Rayleigh und Jeans die Eigenschwingungen des Hohlraumresonators. Er führte allerdings eine Größe ein welche die minimale Energie $h \nu =6,63 \cdot 10^{-34} [J]$ (Planksches Wirkungsquantum) pro Schwingungsmode charakterisieren sollte. Jede Schwingungsmode hat die Energie eines harmonischen Oszillators. Die Energie von $n$ harmonischen Oszillatoren mit Frequenz $\nu$ ist dann

$E_{\nu}=n\cdot h \cdot \nu$

Die Wahrscheinlichkeit im Hohlraum bei Temperatur $T$, $n$ Oszillatoren mit Frequenz $\nu$ zu finden kann mit Hilfe der statistischen Mechanik berechnet werden und ist

$p(n,\nu)=\frac{e^{-n\cdot h \cdot \nu/(kT)}}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{-n\cdot h \cdot \nu/(kT)}}$

Plankw.png
Wobei $Z=\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{-n\cdot h \cdot \nu/(kT)}$ die Zustandssumme ist und $e^{-n\cdot h \cdot \nu/(kT)}$ der Boltzmann-Faktor des Zustandes für den die Wahrscheinlichkeit gesucht wird.

Die durchschnittliche Energie $\left<W \right>$ pro Mode ist dann (ohne Beweis)

$\left<W \right>=\sum\limits_{n=0}^{\infty}E_{\nu}(n) p(n, \nu)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}nh\nu \cdot p(n,\nu)=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}nh\nu \cdot e^{-n\cdot h \cdot \nu/(kT)}}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{-n\cdot h \cdot \nu/(kT)}}\overset{o.B.}{=}\frac{h\cdot \nu}{e^{h \cdot \nu/(kT)}-1}$

So erhalten wir schließlich über die bekannte Beziehung $\omega_{\nu}(\nu,T)=n(\nu) \cdot \left<W(\nu,T) \right>$ die Planksche Strahlungsformel

$\omega_{\nu}(\nu,T)=\frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\frac{d\nu}{e^{h \cdot \nu/(kT)}-1}$