Poincare Abbildungen

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Poincare map.gif
Poincaré Abbildungen sind nützlich um den Fluss in der Umgebung von Grenzzyklen zu untersuchen. Sei $\mathbf{\dot x}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$ ein $n$-dimensionales dynamisches System und $\mathbf{x}(t)$ eine Trajektorie dieses Systems, dann bilden die Schnittpunkte einer $(n-1)$-dimensionalen Hyperebene $\Sigma$ mit der Trajektorie $\mathbf{x}(t)$ eine Folge $\mathbf{x}_i$ für $i=1,2,\dots, n$, wobei man den Punkt $\mathbf{x}_{k+1}$ durch die Poincaré Abbildung $P(\mathbf{x}_k)$ des Punktes $\mathbf{x}_k$ erhält.

Für eine geschlossene Trajektorie eines Grenzzyklus ist $\mathbf{x}_k^*$ ein Fixpunkt, denn $P(\mathbf{x}_k^*)$ bildet den Fixpunkt auf sich selbst ab $\mathbf{x}_{k+1}=P(\mathbf{x}_k^*)=\mathbf{x}_k^*$.

Mit der Poincaré Abbildung kann also die Frage ob ein System einen Grenzzyklus besitzt, in die Frage, ob die Poincaré Abbildung einen Fixpunkt besitzt transformiert werden. Aber auch hier gilt, dass es keine allgemeine Methode gibt, mit der man eine diskrete Poincaré Abbildung konstruieren kann.