Röntgenbeugung am Kristall

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Bestrahlt man einen Kristall mit Röntgenstrahlung, beobachtet man, dass die gebeugten Strahlen zum Teil konstruktiv, zum Teil destruktiv interverieren. Max von Laue erhielt 1914 den Nobelpreis für den Nachweis von Beugungseffekten von Röntgenstrahlen (1912). Er bewies damit die Wellennatur von Röntgenstrahlung. Noch im selbem Jahr (1912) benutzten William Henry Bragg und sein Sohn William Lawrence Bragg die Welleneigenschaft von Röntgenstrahlung um Beugungsstrukturen an Kristallen zu untersuchen. Sie fanden folgende Bedingung für konstruktive bzw. destruktive Interferenz. Heute kann man durch Beugungsmessungen auf die Kristallstruktur eines Materials schließen.


Bragg-Bedingung

Bragg Bedingung: $d$ Abstand zwischen Gitterpunkten; $\theta$ Einfallswinkel der Strahlen; $2\delta$ Wegdifferenz
Einfallende Röntgenstrahlen werden jeweils an einem Gitterpunkt gebeugt. Für zwei im Winkel $\theta$ einfallende Strahlen die an zwei benachbarten Gitterpunkten mit Abstand $d$ reflektiert werden, gilt für die Wegdifferenz $2\delta$ zwischen den Wellen die Bragg-Gleichung.

\begin{align} 2\delta=2 d \cdot \sin \theta \end{align}

Entspricht die Wegdifferenz $2\delta$ genau einem vielfachen der Wellenlänge $\lambda$ der Röntgenstrahlung, ergibt sich konstruktive Interferenz, entspricht sie der halben Wellenlänge $\lambda /2$ ergibt sich destruktive Interferenz. Bei konstruktiver Interferenz wird also die Bragg-Bedingung \begin{align} n \lambda =2 d \cdot \sin \theta \end{align} erfüllt. Eine äquivalente Bedingung lässt sich in Vektornotation angeben.


Laue-Bedingung

Laue Bedingung: $\vec{R}=p \cdot \mathbf{a}_1 + q \cdot \mathbf{a}_2 +r \cdot \mathbf{a}_3$ Abstand zwischen Gitterpunkten; $\vec{k}$ einfallender Strahl; $\vec{k}'$ gebeugter Strahl
Wir betrachten zwei Gitterpunkte (blau) im Abstand $\vec{R}$. Die einfallenden Strahlen $\vec{k}$ werden an diesen gebeugt und verlassen den Kristall $\vec{k}'$. Die Wegdifferenz $2\delta$ zwischen den Strahlen ergibt sich dann durch die Summe folgender Vektorprodukte.

\[ 2 \delta =\vec{R}\cdot\vec{k}-\vec{R}\cdot \vec{k}'\]


Die Phasendifferenz ergibt sich als Produkt aus der Wegdifferenz $2 \delta$ und der Wellenzahl $k=k'=2\pi/ \lambda$ \[\frac{2 \pi \vec{R}}{\lambda} \cdot\left(\vec{k}-\vec{k}'\right)\] \[2 \pi \vec{R} \cdot\left(\frac{\vec{k}}{\lambda}-\frac{\vec{k}'}{\lambda}\right)\] hier liegt der Ursprung für die Vorteilhaftigkeit der reziproken Beschreibung des Gitters, denn der Vektor \[\frac{\vec{k}}{\lambda}\] hat Einheiten $1/m$ und ist damit ein Vektor im reziproken Raum. Ebenso liegt der Vektor \[\left(\frac{\vec{k}}{\lambda}-\frac{\vec{k}'}{\lambda}\right)=h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3\] im reziproken Raum. Man beachte, hier liegt auch der Grund für die unterschiedliche Notation in der Kristallographie und der Festköperphysik, die sich um einen Faktor $2\pi$ unterscheidet. Somit ergibt sich in der Festkörperphysik der reziproke Vektor. \[\frac{\vec{k}}{k}\] Ebenso in Festkörperphysik Notation \[\left(\frac{\vec{k}}{k}-\frac{\vec{k}'}{k'}\right)=h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3\] Für konstruktive Interferenz muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) sein: \[ 2 \delta =m\lambda, \quad m\in\mathbb{Z}\] Nun erhalten wir für die Phasendifferenz \[2 \pi \vec{R} \cdot\left(\frac{\vec{k}}{\lambda}-\frac{\vec{k}'}{\lambda}\right)=2 \pi(p \cdot \mathbf{a}_1 + q \cdot \mathbf{a}_2 +r \cdot \mathbf{a}_3) \cdot (h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3)=2 \pi (hp+kq+lr)=m \lambda \frac{2 \pi}{\lambda} \] bzw. \[ \vec{R} \cdot \left(\frac{\vec{k}}{k}-\frac{\vec{k}'}{k'}\right)=2 \pi(p \cdot \mathbf{a}_1 + q \cdot \mathbf{a}_2 +r \cdot \mathbf{a}_3) \cdot (h \cdot \mathbf{b}_1 + k \cdot \mathbf{b}_2 +l \cdot \mathbf{b}_3)=2 \pi (hp+kq+lr)=m \lambda \frac{2 \pi}{\lambda}\] Die Summe $(hp+kq+lr)$ muss also einer ganzen Zahl entsprichen. \[ (hp+kq+lr) \in \mathbb{Z}\] Da $p,q,r$ gültige einen Gitterpunkt beschreiben, sind diese ganze Zahlen, deshalb erhalten wir die Bedingung \[ h,k,l \in \mathbb{Z}\] das ist genau ein reziproker Gitterpunkt. Damit gilt:

Beschreiben die Millerschen Indizes $hkl$ einen reziproken Gitterpunkt, herrscht konstruktive Interferenz im Ortsraum.

Die Festkörperphysik Notation erlaubt nun im Gegensatz zur kristallographischen Notation folgende Kompakte Schreibweise für die Laue-Bedingung. \(\Delta\vec{K}=\vec{H}_{hkl}=\left(\frac{\vec{k}}{k}-\frac{\vec{k}'}{k'}\right)\)

\begin{align} e^{i\,\vec{R}\cdot\vec{H}}=i \cdot 2 \pi \cdot m= 1 \end{align}



Ewaldkugel

(auch Ewald Konstruktion)
Man kann sich die Laue-Bedingung an der Ewald Konstruktion veranschaulichen. Dazu zeichnet man von einem Gitterpunkt aus ein Kugel (in 2D einen Kreis) dessen Radius dem reziproken Basisvektor \[\mathbf{K}_i=\frac{\vec{k}}{k}\] entspricht. Bei allen reziproken Gitterpunkten, welche auf der Ewaldkugel liegen, herrscht konstruktive Interferenz, denn \[\Delta \mathbf{K}=\mathbf{K}_i-\mathbf{K}_{\text{f}}=\frac{\vec{k}}{k}-\frac{\vec{k}'}{k'}\] ist dann immer ein gültiger reziproker Gitterpunkt $\mathbf{H}_{hkl}$ und erfüllt damit die Laue-Bedingung.

Ewald Kugel in 2 Dimensionen