Rössler System - The Big Picture

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Rössler System

Rossler.png
Das Rössler System besteht aus drei gekoppelten Differezialgleichungen wobei nur eine davon nichtlinear ist. Es ist daher eines der simpelsten Systeme die chaotisches Verhalten aufweisen.

\begin{align} \frac{dx}{dt} &= -y - z \\ \frac{dy}{dt} &= x + ay \\ \frac{dz}{dt} &= b + z(x-c) \end{align}

Das System besitzt zwei Fixpunkte \[\left(\frac{c+\sqrt{c^2-4ab}}{2}, \frac{-c-\sqrt{c^2-4ab}}{2a}, \frac{c+\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right)\] \[\left(\frac{c-\sqrt{c^2-4ab}}{2}, \frac{-c+\sqrt{c^2-4ab}}{2a}, \frac{c-\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right)\]

Berechnung der Jacobi Matrix

\begin{align} \mathbf{J}=\begin{pmatrix}0 & -1 & -1 \\ 1 & a & 0 \\ z & 0 & x-c\\\end{pmatrix} \end{align}

Man erhält die Eigenwerte durch Lösen der kubischen Gleichung \begin{align} -\lambda^3+\lambda^2(a+x-c) + \lambda(ac-ax-1-z)+x-c+az =0\ \end{align}

Wir untersuchen nun eine Lorenz Abbildung, das ist die Projektion der Trajektorie eines dreidimensionalen Systems auf eine Ebene. Uns interessiert dabei das Verhalten des Systems wenn wir $a=b=0.2$ festhalten und $c$ variieren.

Rosslerlorenzmap.png

The Big Picture

Alle physikalischen "realen" Systeme, die wir bisher betrachtet haben wurden durch Systeme von Differentialgleichungen beschrieben. Wie können nun diskrete Abbildungen helfen physikalische Sachverhalte zu verstehen? Hilft das Wissen über diskrete eindimensionale Abbildungen wie die Feigenbaumkonstanten irgenwie Vorhersagen zu machen?

Betrachten wir die Lorenz Abbildungen des Rössler Systems, sehen wir für $c=2.5$ einen Grenzzyklus. Für $c=3.5$ wandert die Trajektorie zwei mal im Kreis bevor sie wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt, die Periode hat sich verdoppelt! Es muss also einen kritischen Wert $c$ zwischen $c=2.5$ und $c=3.5$ geben bei dem eine Bifurkation mit Periodenverdopplung stattfindet. Bei $c=4$ hat eine weitere Periodenverdopplung stattgefunden. Für den Wert $c=5$ ensteht ein seltsamer Attraktor.

Wir vergleichen dieses Resultat nun mit eindimensionalen Abbildungen. Dazu Zeichnen wir für einen seltsamen Attraktor mit fixen Parameter $c=5$ ein Diagramm, indem wir sukzessive die lokalen Maxima der Trajektorie des seltsamen Attraktors einzeichnen. So konstruieren wir die Funktion $x_{n+1}=f(x_n)$ aus dem seltsamen Attraktor. Nun können wir ein Orbit Diagramm, mit allen Bifurkationen und Periodenverdopplungen (wie im Artikel Logistische Gleichung) für diese Funktion anfertigen.

Bigpig.png