Radiometrie

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Radiometrische Grundgrößen

Strahlungsfluss

Der Strahlungsfluss (auch Strahlungsleistung) ist diejenige differentielle Energiemenge \(\mathrm{d}W_{em}\), die pro Zeiteinheit \(\mathrm{d}t\) von der elektromagnetischen Wellen transportiert wird:

\(\Phi = \frac{\mathrm{d}W_{em}}{\mathrm{d}t} \hspace{1cm}\) in Einheiten von Watt [W] oder Joule pro Sekunde [J/sec]

Zur veranschaulichung betrachten wir das Volumen $V$ in dem die Feldenergie

\( W_{em}=\int \varepsilon_0 E^2 \cdot dV\)

steckt. Dann muss die zeitliche Abnahme der Energie gleich der aus dem Volumen tretenden Energie sein.

$-\frac{\partial}{\partial t} \int \varepsilon_0 E^2 \cdot dV= \oint_A \mathbf{S} \cdot d\mathbf{A}=\int_V \text{div }\mathbf{S} \cdot dV$

$-\frac{\partial}{\partial t} \varepsilon_0 E^2 = \text{div }\mathbf{S} $

$d \Phi = \mathbf{S} \cdot d \mathbf{A} $

div$\mathbf{S}$ ist die Quellergiebigkeit (Energie die pro Zeiteinheit aus Einheitsvolumen strömt). Die Gesamtenergie die pro Zeiteinheit durch die Kugeloberfläche tritt ist $|\mathbf{S}|=I$

Strahlungsfluss


Spezifische Ausstrahlung

Die spezifische Ausstrahlung $M$ gibt an, wie groß der Strahlungsfluss ist, der vom infinitesimalen Flächenelement $dA$ der Quelle ausgesandt wird.

\(M=\frac{d\Phi}{dA}=L \cdot cos(\varepsilon) \cdot d\Omega \text{ in } \left[\frac{W}{m^2} \right]\)

Strahlungssträke

Die Strahlungsstärke ist definiert als

\(J(\varepsilon)=\frac{d\Phi}{d\Omega}=J_{max} \cdot f(\varepsilon) \text{ in } \left[\frac{W}{sr} \right] \hspace{2cm} dJ=L \cdot cos(\varepsilon) \cdot dA \text{ für Labert Strahler }\)

Sie beschreibt wie groß der Strahlungsfluss in den Raumwinkel $d\Omega$ um den Winkel $\varepsilon$ ist. Diffus reflektierende Oberflächen gehorchen dem Lambertschen Kosinusgesetz in diesem Fall ist $f(\varepsilon)=cos(\varepsilon)$.

Bild zeigt Strahlungsstärke bei Reflexion an Papier
a) Lambert Strahler b) Leuchtdiode

Für den Lambert Strahler gilt also:
\(J(\varepsilon)=J_{max} \cdot cos(\varepsilon) \)

Strahlungsdichte

Wir können die Strahlungsstärke auch schreiben als

\(dJ(\varepsilon)=L \cdot dA \cdot cos(\varepsilon) \Rightarrow L=\frac{dJ_{max}}{dA}\)

dabei ist $L$ in $\left[\frac{W}{sr \text{ }m^2} \right]$ die Strahlungsdichte oder Leuchtdichte. Also der Strahlungsfluss, der pro infinitesimalem Flächenelement $dA$ in den Raumwinkel $d\Omega$ um den Winkel $\varepsilon$ ausgesandt wird.

Bestrahlungsstärke

Die von einer Quelle auf $A_1$ ausgesendete Energie die pro Zeiteinheit auf die Fläche $A_2$ trifft heißt Bestrahlungsstärke oder Intensität.

Sender Empfänger

Der vom Sendeelement $A_1$ nach der Strecke $r$ (mit $r^2>>A_1,A_2$) auf das Empfangselement $A_2$ gesendete Strahlungsfluss ist

$d\Phi^2=L \cdot dA_1 \cdot cos(\varepsilon_1) \cdot d\Omega_1$

$d\Omega_1$ ist der Raumwinkel unter dem $dA_2$ vom Sender bestrahlt wird und kann auch als $d\Omega_1=\frac{dA_2 cos(\varepsilon_2)}{r^2}$ geschrieben werden. Daraus folgt das radiometrische Grundgesetz

$d^2\Phi=L \cdot \frac{dA_1 \cdot cos(\varepsilon_1) \cdot dA_2 \cdot cos(\varepsilon_2)}{r^2}$

Sender Empfänger

$d\Phi$ ist die Energie die pro Zeiteinheit transportiert wird. Die Intensität oder Bestrahlungsstärke ist die Energie die pro Zeiteinheit auf die Einheitsfläche des Empängers fällt.
Daher gilt

$I=\frac{d\Phi}{dA_2}=L \cdot \frac{dA_1 \cdot cos(\varepsilon_1) \cdot cos(\varepsilon_2)}{r^2} \hspace{1cm}$ in Einheiten von $\left[ \frac{W}{m^2} \right]$

Außerdem gilt folgender Zusammenhang zwischen $\mathbf{S}$ und $I$

$|\mathbf{S}|=I=\int\limits_{A_1} L \cdot \frac{ cos(\varepsilon_1) \cdot cos(\varepsilon_2)}{r^2}dA_1=\int\limits_{\Omega_1} L \cdot cos(\varepsilon_2) \cdot d\Omega_1 \hspace{1cm}$ in Einheiten von $\left[ \frac{W}{m^2} \right]$

Bestrahlung

Die Bestrahlung $H$ gibt die gesamte im Zeitintervall $t_1 \leq t \leq t_2$ auf eine Einheitsfläche fallende Energie an. Man erhält diese Größe durch Integration der Intensität über die Zeit.

$H=\int\limits_{t_1}^{t_2}I(t)dt \hspace{2cm}$ in Einheiten von $\left[ \frac{W \cdot s}{m^2} \right]$

Oft wird in der Radiometrie für die oben eingeführten Größen das Subskript e für Energy angehängt ($\Phi_e, M_e, \dots$). Man will damit von den in der Photometrie verwendenten Größen unterscheiden, welche die Empfindlichkeit des Auges bei verschiedenen Wellenlängen $\lambda$ berücksichtigt (durch Multiplikation mit der Hellempfindlichkeitsfunktion (V-Lambda-Kurve) des menschlichen Auges $V(λ)$). Photometrische Größen werden durch den Index v gekennzeichnet.