Random Walk

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Der Random Walk beschreibt die Brown'sche Molekularbewegung eines Teilchens. Wir betrachten hier den eindimensionalen Fall. Dazu nehmen wir an, ein Teilchen befinde sich anfangs am Ursprung $x=0$ der x-Achse. Es wird mit Wahrscheinlichkeit $p$ nach rechts bzw. mit Wahrscheinlichkeit $q$ nach links verschoben und zwar jeweils um die Strecke $l$. Nehmen wir an, das Teilchen wurde $n_1$ mal nach rechts und $n_2$ mal nach links verschoben, dann befindet es sich nach $N=n_1+n_2$ Sprüngen am Ort $m=n_1-n_2$.

Die Frage ist nun, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das Teilchen nach $N$ Sprüngen am Ort $x=m \cdot l$ zu finden.

Nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitstheorie gilt nach dem Multiplikationssatz, dass das Zusammengesetze Ereignis, bei welchem das Teilchen erst $n_1$ mal nach rechts und dann $n_2$ mal nach links springt und damit am Punkt $x=m \cdot l$ landet, mit Wahrscheinlichkeit \begin{equation} P'(n_1)=\underbrace{p \cdot p \dots p}_{n_1 mal} \cdot \underbrace{q \cdot q \dots q}_{n_2=(N-n_1) mal}=p^{n_1} \cdot q^{N-n_1} \end{equation} eintritt, weil es aber viele Wege gibt insgesamt $n_1$ Schritte nacht rechts und $n_2$ Schritte nach links zu gehen ist die Wahrscheinlichkeit auf irgendeinem Wege bei $x=m \cdot l$ zu landen größer. Das Gebiet das sich mit der Abzählung dieser Reihenfolgen beschäftigt heißt Kombinatorik. Unter Verwendung der Permutation von klassenweise äquivalenten Objekten oder der äquivalenten Methode des ziehens ohne zurücklegen, ergibt sich die Anzahl der möglichen Wege über welche sich der Ort $x=m\cdot l$ erreichen lässt genau als der Binomialkoeffizient \begin{equation} \frac{N!}{n_1! n_2!}=\frac{N!}{n_1! (N-n_1)!}=\binom {N}{n_1} \end{equation} und damit die Wahrscheinlichkeit auf irgendeinem Wege $x=m \cdot l$ zu erreichen \begin{equation} P(n_1)=\frac{N!}{n_1!(N-n_1)!}p^{n_1} \cdot q^{N-n_1}=\begin{pmatrix} N \\ n_1 \\ \end{pmatrix} p^{n_1} \cdot (1-p)^{N-n_1} \end{equation} Das ist eine sogenannte Binomialverteilung. Gemäß dem Binomischen Lehrsatz ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten genau $1$.

\[\sum_{n_1=0}^N \binom N{n_1} p^{n_1} (1-p)^{N-n_1} = (p + 1 -p)^N = 1^N = 1\].

Über die Beziehung $m=n_1-n_2=n_1-(N-n_1)=2n_1-N$ und damit $n_1=\frac{N+m}{2}$ bzw. $n_2=n_1-m=\frac{N-m}{2}$ erhält man schließlich die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $m$ \begin{equation} P(m)=\frac{N!}{\frac{N+m}{2}!(\frac{N-m}{2})!}p^{\frac{N+m}{2}} \cdot q^{\frac{N-m}{2}}=\begin{pmatrix} N \\ \frac{N+m}{2} \\ \end{pmatrix} \hspace{0.1cm} p^{\frac{N+m}{2}} \cdot (1-p)^{\frac{N-m}{2}} \end{equation} Der Verlauf einer Kugel in einem Galtonbrett kann ebenfalls als Randomwalk einer Kugel aufgefasst werden . Die Kugel kann bei jedem Hindernis mit Wahrscheinlichkeit $p$ nach links bzw. $q$ nach rechts abgelenkt werden. Ist das Brett gerade gilt $p=q$, neigt man das Brett leicht, wird $p \neq q$ und die Verteilung wird asymmetrisch.

Binomialverteilung $P(n_1)$ für verschiedene Wahrscheinlichkeiten $p=1-q$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Teilchen nach $N$ Sprüngen $n_1$ mal nach rechts gesprungen ist. Die Binomialverteilung hat ein Maximum wenn der Binomialkoeffizient $\binom{N}{n_1=N/2}$ ist. Würde man die Binomialverteilung in Abhängigkeit von $m$ darstellen, wäre sie um den Mittelpunkt verteilt, weil für $m=0$ der Binomialkoeffizient $\binom{N}{(N+m)/2}$ dort maximal ist.